L'arc

En geometria euclidiana, un arc és un segment tancat d'una corba en un pla bidimensional; per exemple, un arc circular és un segment de la circumferència d'un cercle. Si el segment d'arc ocupa un cercle màxim o una el.lipse màxima, es considera un segment d'arc màxim.

En l'àmbit de l'arquitectura un arc és un element constructiu estructural lineal de directriu corba, que permet cobrir un buit sense que es produeixin esforços de flexió ni tracció. La seva utilitat principal és la de salvar llums relativament elevades amb peces petites (anomenades dovelles, que solen ser de pedra, ceràmica o de formigó prefabricat) o amb materials que no resisteixen la tracció, com el formigó en massa.

Un arc natural, pont natural o pont de roca és una formació geològica en forma d'arc o pont de roca causada per l'erosió. Aquestes estructures es formen quan les zones menys resistents de les roques, les fissures, són erosionades profundament, i arriben a travessar la roca. Aquest tipus d'acció erosiva s'anomena corrasió.

Al llarg dels meus viatges i excursions sempre he buscat aquests arcs naturals allà on fos que poguessin ser trobats, observats i travessats. Després d'uns quants anys de recerca metòdica i persistent n'he trobat 16, i encara els continuo buscant allà on sigui que es puguin trobar.

De tots els arcs que he trobat al llarg de la meva vida n'hi ha un de molt especial. La història que em va portar fins aquest arc espero explicar-la algun dia de l'any 2010. De moment us deixo amb la fotografia que vaig fer un dia d'hivern austral en un paratge remot i inhòspit a Namibia en un preciós planeta del sistema solar anomenat Terra. Una imatge val més que mil paraules! I aquesta, almenys per a mi, és una de les més boniques imatges que la meva càmera ha pogut captar al llarg de tots aquests anys.

És una imatge amb la que m'agradaria acomiadar aquest any 2009. Durant unes setmanes aquest blog estarà inactiu. Me'n vaig a la recerca de nous arcs. Naturals i artificials. A la recerca de nous paisatges matemàtics.

Bones festes i bon any 2010!!!

Fins aviat.

Reflexes

Semblo ser l'únic interessat en aquests reflexes marítims tan bonics que es poden veure sota el darrer sol de la tarda al port de Weymouth. Centenars de hooligans i turistes semblen estar interessats només en les seves cerveses i en un partit de futbol que estan retransmetent en tots els pubs.

Penso que encara ningú ha estat capaç d'escriure una equació matemàtica que descrigui el comportament capritxós d'aquest calidoscopi de colors sobre la superficie de l'aigua. Una superficie que es va ondulant de forma més o menys periòdica i aleatòria, mentre els darrers raigs de llum de la tarda incideixen amb un angle cada vegada més petit, tot produint una explosió màgica de colors i formes abstractes sorprenents.

La bellesa, de vegades, es troba amagada en el més petit i sorprenent racó de l'Univers, només cal obrir els ulls i saber-la trobar. Cada dia milers de nous paisatges matemàtics ens envolten.

Matemàtics? Jo només veig mamífers!

Avui he baixat del metro a Palau Reial i m’he deixat dur per l’instint i la nostàlgia cap a territoris que eren molt familiars per mi. He pujat les escales i he sortit pel cantó esquerre de la Diagonal. Clar que això és relatiu, però pressuposo que he sortit cap al cantó esquerre de la diagonal tenint en compte la direcció i el sentit que duia el vagó de metro que m’ha transportat cap aquests paratges. En definitiva, he pujat unes escales noves que aleshores no existien i he continuat caminant diagonal amunt fins que m’he trobat aquell edifici on m’hi vaig passar uns quants anys envoltat d’equacions diferencials, de formes multilineals i altres mandangues topològiques.

De sobte, un senyor amb una enorme barba blanca i uns ullets de trapella s’ha dirigit cap a mi:

-Perdone joven. Es usted matemático? Estoy buscando la Facultat de Matemáticas. Creo que me he perdido, pues llevo media hora dando vueltas sobre el mismo punto.

Davant d’aquesta pregunta m’he quedat dubtant. Ja que en realitat no es podria dir que jo sigui un matemàtic. En realitat vaig estudiar físiques durant uns quants anys i no sé si per sort o per desgràcia vaig aprendre més matemàtiques que física. Si, no ho negaré, vaig gaudir i a vegades patir totes aquelles matemàtiques abstractes. Vaig aprendre milers de teoremes sense nom, vaig lluitar contra totes aquelles maleïdes i alhora boniques demostracions... però en realitat jo no em puc considerar un matemàtic.

- Doncs no. Ho sento, senyor, no sóc un matemàtic. Però potser el pugui ajudar en alguna cosa. Puc orientar-lo perfectament i dir-li cap a on hauria de dirigir els seus passos. Conec bé aquest entorn i aquests edificis, m’hi vaig passar uns quants anys mentre estudiava i aprenia moltes matemàtiques.

- Pero entonces... usted es químico o quizás un físico? O bien podria tratarse de un ingeniero de caminos o un arquitecto. No! Usted debe ser físico!

M’he tornat a quedar dubtant. Si, vaig estudiar físiques i vaig obtenir al final una llicenciatura en ciències físiques. Tinc un enorme diploma que ho certifica, però jo crec que aquell diploma només certifica que vaig aconseguir superar tota aquella absurda carrera d’obstacles que preveia aquell maleït pla d’estudis. La veritat és que no vaig aprendre molta física com crec que ho faria ara si pogués tornar el temps enrera.

M’he quedat pensatiu, l’aspecte d’aquell home m’ha fet pensar en el gran poeta Jesús Lizano, i al final li he dit:

- Mire! Sabe lo que le digo. No soy ni un físico, ni un matemático, ni tampoco un arquitecto, ni un ingeniero de caminos. Soy un mamífero y punto. Y usted también es un mamífero y todos estos estudiantes que salen como una manada de borregos a través de esa puerta no son más que una manada de mamíferos. La verdad! Yo sólo veo mamíferos! Usted no?

De todas formas si quiere le puedo ayudar. Soy un mamífero con un muy buen sentido de la orientación y conozco muy bien este territorio. Siga caminando recto y cuando llegue a ese edificio tan horroroso, gire a la izquierda y continue caminando en dirección al mar. Cuando encuentre la siguiente calle perpendicular a la que usted estará transitando gire a la derecha y allí encontrará la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC. Hace unos años era una escuela de Informática pero ahora las cosas han cambiado.

-Muchas gracias joven. Se nota que es usted un buen mamífero. Que tenga un muy buen día! Yo hace muchos años estudié filosofía en la Universidad de Barcelona y tampoco aprendí demasiado, la verdad es que lo que a mi me gusta es vagar como un animal urbano y escribir poemos, quiero decir...poemas.

L’home m’ha somrigut, m’ha donat les gràcies i ha continuat el seu camí. Juraria que era ell, però no ho puc assegurar... feia temps que no el veia en una foto i quan he arribat a casa l’he anat a buscar ràpidament al youtube.

Us deixo amb aquest mamífer tan especial i amb aquest poema que em va impactar tant la primera vegada que el vaig sentir. I és que és així de simple, només som mamífers!

Té dimensió fractal la Costa Brava?

Ara ja fa uns anys que vaig llegir un bonic Treball de Recerca fet per una estudiant de batxillerat de La Bisbal on explicava de manera molt entenedora el concepte de fractal. Aquest Treball de Recerca va acabar guanyant un petit premi i si algú està interessat en donar-li una ullada el podeu trobar penjat a Internet.

La Mireia exposava els fonaments teòrics de la teoria fractal des de la visió d'una estudiant de batxillerat científic, és a dir sense complicacions matemàtiques degudes al càlcul diferencial o a estranys i complicats teoremes de topologia desconeguts pel gran públic, i finalment s'atrevia a calcular de manera aproximada la dimensió fractal de la Costa Brava del Baix Empordà.

Les conclusions a les que arribava la Mireia eren les següents:

"L'objectiu més important d'aquest treball era trobar la dimensió de la costa Brava del Baix Empordà i demostrar que era una fractal. Aquest objectiu s'ha assolit amb èxit, i un cop fetes totes les mesures he trobat que la dimensió de tota la Costa Brava del Baix Empordà, és de 1,1214.

No és un nombre enter, com era de preveure i, per tant, podem constatar que realment té dimensió fractal.

Cal esmentar que a l'hora de buscar la manera de calcular les diferents mesures del mapa, he tingut petits problemes de metodologia, que finalment he aconseguit resoldre d'una manera satisfactòria. La tasca ha resultat engrescadora i més tenint en compte el resultat final."


I ara arriba el temps en que la Costa Brava mereix ser visitada amb lentitud, quan les platges estan quasi desertes, quan els seus pobles de pescadors tornen a ser pobles de veritat, quan les seves horroroses urbanitzacions estan només poblades pels fantasmes del consumisme, ara que encara el dia és prou llarg i el càlid sol de tardor ens escalfa el cos i l'ànima. Ara la natura es recupera lentament de les massives invasions de milions d'éssers humans a la recerca de platges, discoteques, pollastre a l'ast i crema solar. Ara és el moment de recuperar l'autèntic esperit de la Costa Brava.

Ara és el moment de tornar a caminar seguint el GR-92 mentre recalculem la dimensió fractal de totes aquestes cales amagades. Aquí també hi trobareu nous i sorprenents paisatges matemàtics.

Els objectes fractals i la natura

Hi ha moltes formes de definir un fractal, però el que fa que aquests objectes matemàtics siguin realment interessants és que són un model per d'estudiar i entendre moltes de les formes irregulars que ens podem trobar a la natura.

El matemàtic francès Benoît Mandelbrot va inventar el terme fractal per designar un seguit d'objectes geomètrics d'estructura irregular que li van cridar l'atenció en el seu intent de trobar una geometria més apropiada que la clàssica per descriure les formes de la natura.

La principal característica que tenen aquests objectes és la propietat d'autosemblança: a diferents escales de detall, aquestes figures geomètriques presenten formes o estructures similars. Per aquest motiu, es pot afirmar que els objectes fractals tenen una estructura geomètrica recursiva, això vol dir que que estan compostos d'elements també geomètrics de mida i orientació variable, però d'aspecte similar a l'estructura general.

L'exemple més clar per entendre un fractal és el d'un arbre. Si ens apropem a aquest arbre, podrem veure com les seves branques no són més que "petits arbres" amb la mateixa estructura que la de l'arbre inicial. Si ara ens acostem i mirem amb detall qualsevol d'aquestes branques podrem veure com, a la vegada, es composen de petites branques encara més petites però que mantenen la mateixa estructura inicial.

Aquest procés el podem extrapolar mentalment fina a l'infinit: podríem pensar que un arbre no és més que una col.lecció de petits arbres més petits que a la vegada contenen molts més arbrets encara més petits, etc, etc. Formant una estructura molt complexe de ramificacions que s'extén fins a l'infinit d'una manera recursiva. Tots sabem que a la realitat hi ha un moment que aquest procés es para i al final ens trobem les fulles d'aquest arbre.

Podem trobar exemples de fractals en les núvols del cel, els perfils de les serralades, la forma de la costa marítima, en l'estructura del nostre sistema circulatori i respiratori, en els llamps, en les dendrites de les neurones i fins i tot en les galàxies de l'univers.

Si observem amb atenció el nostre entorn natural segur que descobrim molts paisatges matemàtics plens de fractals.

Espiral logarítmica

Segur que coneixeu moltes espirals. Dit d'una forma barroera una espiral és una corba que es "s'enrosca" sobre ella mateixa de forma indefinida cap a dins o bé cap a fora. Bé, aquesta definició no és massa precisa i es pot prestar a moltes confusions.

Una definició una mica més seriosa és la que ens diu que una espiral és una corba generada per un punt que es va allunyant progressivament del seu centre a la vegada que gira al seu voltant. Els matemàtics han estudiat les espirals des dels temps més remots i han arribat a la conclusió que hi ha molts tipus d'espirals: l'espiral d'Arquímedes, l'espiral clotoide, l'espiral de Fermat, l'espiral de Ulam, l'espiral hiperbòlica i l'espiral logarítmica. Cada una d'aquestes corbes planes té una equació diferent i per tant queda definida matemàticament per una funció diferent. A simple vista les diferències entre algunes d'aquestes espirals poden ser molt subtils.

Es poden construir espirals logarítmiques utilitzant la famosa successió de Fibonacci o a partir d'un rectangle auri. L'espiral logarítmica es diferencia de la famosa espiral d'Arquímedes pel fet que les distàncies entre els seus braços s'incrementen en progressió geomètrica, mentre que en una espiral d'Arquímedes aquestes distàncies són sempre constants.

L'espiral logarítmica va ser estudiada per Descartes i Torricelli però el gran físic i matemàtic Jacob Bernouilli fins i tot li va dedicar un llibre i la va batejar com Spira Mirabilis, és a dir l'espiral meravellosa. Bernouilli va quedar tan impresionat per les seves propietats que va demanar que quan morís li gravéssin una espiral logarítmica a la seva tomba. Per desgràcia a la funerària es van equivocar i li van gravar una espiral d'Arquímedes!

L'espiral logarítmica es troba en molts fenòmens de la natura: en els braços de les galàxies espirals, la nostra galàxia Via Làctia té quatre braços espirals que són espirals logarítmiques, els braços dels ciclons tropicals, algunes teranyines, les closques de la majoria de mol·luscs, les línies de corrent de l'aiguera, els anticiclons del Tomàs Molina... tot són espirals logarítmiques!

Ara mateix contemplo aquest cargol que lentament puja arrapat al branquilló de ginesta mediterrània tot desafiant la llei de la gravetat. Puja i s'atura arrossegant inexorablement la seva espiral logarítmica mentre el rellotge implacable de la vida batega al seu voltant.

Cargol treu banya, puja la muntanya mentre arrossegues la teva espiral logarítmica i ets el protagonista d'un nou paisatge matemàtic.

El Nombre d'Or

Apreciat Doctor Kanazawa:

Des que en alguna de les seves classe de Matemàtiques vaig sentir a parlar de la proporció àuria em vaig sentir força atret per aquest tema. Fins i tot, en el seu llibre de text hi havia alguna pàgina dedicada a aquesta misteriosa proporció així com el famós Número d’Or. En el seu magnífic llibre, vostè afirmava que fins i tot alguns monuments de l’antiguitat havien estat dissenyats tenint en compte aquesta proporció.

Alguns exemples sorprenents que he pogut trobar en diferents pàgines d’Internet o fins i tot en llibres d’autors aparentment prou seriosos i d’un cert nivell m'han estimulat encara més l’interès per aquest tema. Alguns d’aquests exemples que relacionen la proporció àuria amb monuments o obres artístiques del passat són:
-gran piràmide de Keops (Antic Egipte)
-temple del Partenón (Grècia clàssica)
-escultura de marbre d’Apollo de Belvedere (art romà)
-alguns pintors de l’època Medieval (Giotto, Duccio...)
-algunes obres de Leonardo Da Vinci (per exemple La Gioconda)
-alguns pintors contemporanis (Seurat, Dalí)
-alguns edificis de grans arquitectes contemporanis (Le Corbusier)

També he trobat, encara que en una proporció molt més petita, alguns autors que discrepen de forma molt clara sobre aquesta “suposada” relació que s’ha atorgat a la proporció àuria en tots aquests monuments o obres d’art.

D’altra banda també he pogut trobar molts documents i llibres que suggereixen o defensen, de la mateixa manera, una relació molt íntima entre el Nombre d’Or i alguns fenòmens de la natura com ara el creixement d’alguns moluscs i plantes, així com la disposició de les galàxies a l’Univers, o fins i tot la disposició geomètrica de les molècules de l’ADN en l’espai.

Igualment alguns autors, encara que molt pocs, han donat arguments per intentar demostrar que hi ha moltes suposicions sense arguments prou sòlids per tal de poder concloure aquestes relacions tan sorprenents.

La pregunta que m'he acabat fent és la següent: Realment és tant important el Número Auri com alguns autors i milers de pàgines a Internet defensen? Realment forma part aquesta proporció de la naturalesa essencial de la natura i de l’art? O pel contrari, no s’haurà mitificat massa la proporció àuria des que el matemàtic Euclides la descrivís per primera vegada en la seva obra cabdal “Els Elements” (segle IV adC)?.

Estic fent una petita investigació utilitzant les fotografies matemàtiques d'alguns d'aquests monuments que he anat realitzant al llarg d'aquests anys. Espero arribar a alguna conclusió i tan aviat com la tingui prometo comunicar-li per tal que vostè mateix en pugui treure algun profit.

Atentament

L'etern buscador de paisatges matemàtics.

Estimats paisatges matemàtics barcelonins

Avui he pujat al Park Güell mentre queia la tarda, des d’allà t’he contemplat des del Turó de les Tres Creus, després he baixat caminant fins el barri de Gràcia on m’he perdut com sempre. No vull memoritzar els seus carrers, doncs el dia que ho faci i no em perdi per anar de la Plaça del Sol a la Plaça del Nord, el barri de Gracia perdrà la màgia que per a mi sempre havia tingut quan era petit.

Després he baixat pels carrers de l’Eixample fent una ziga zaga aleatòria: un cap a la dreta, dos cap avall, un cap a l’esquerra, un cap avall,... sempre cap avall i en direcció cap al mar. Quantes combinacions de diferents recorreguts es podrien arribar a fer? Això em recorda un problema de combinatòria de 1r de BUP on una formiga es trobava a l’extrem d’un taulell d’escacs i només podia avançar cap a la dreta i cap avall de forma aleatòria. No he sabut mai per quin motiu la maleïda formiga no podia retrocedir cap enrera o bé tirar cap a l’esquerra. La pregunta era: quants camins diferents pot arribar a realitzar aquesta formiga si vol atènyer l'extrem oposat del taulell d'escacs?

En fi, estava jo pensant en la pobra i estúpida formiga quan l’Eixample s’ha acabat i m’he trobat al Carrer sant Pere Mes Baix. El Gòtic! Com m’agrada el Barri Gòtic. Aquí la quadrícula ordenada i simètrica de l’Eixample desapareix i dóna pas a una caòtica teranyina de carrerons estrets, ombrívols amb olors a pixats. He vorejat el Palau de la Música i m’he endinsat pels carrerons estrets que feia molt de temps no trepitjava, he passat per davant del cafè del Teatre i m'he recordat de les inacabables partides de futbolins que feia durant alguna campana quan anava a l’acadèmia Peñalver. Aleshores l’amo del bar era un tipus "gordo" , sebós i calb molt peculiar que tenia un sable de samurai i molta mala hòstia . Sempre ens deia en to amenaçant:

-“Muchachos, aquí para jugar al futbolín, primero hay que consumir!”. Mentre empunyava el seu sable de samurai. El molt cabronàs ens tenia ben acollonits! Aleshores, dos o tres de nosaltres demanàvem un tallat o una coca-cola i continuàvem fent la nostra partida.

He continuat la meva ruta tot endinsant-me en el barri de la Ribera, he passat per davant del Born, de Casa Delfín i després he decidit anar cap al Parc de la Ciutadella. M’encanta passar pel carrer Wellington, tancar els ulls i sentir els sorolls de les bèsties del zoo i imaginar-me que estic en una selva de Borneo. També m’agrada imaginar històries de fantasmes quan veig les antigues cases dels militars abandonades i tapiades. Són com antics dinosaures de l’època franquista, de quan Barcelona era una ciutat grisa, plena de funcionaris i militars. Així i tot, em sap greu que estiguin tan degradades i en perill d’extinció. En una d'aquestes cases... bé, això ja us ho explicaré un altre dia.

Finalment he arribat a la Vila Olímpica del Poblenou he agafat una bici i he recorregut tot el passeig marítim mentre contemplava el nostre estimat Pont de Mar Blava fins que he arribat a la Barceloneta on m’he pres una canya i he resol el problema de la formiga i el taulell d’escacs en un tovalló de paper. I és que en aquesta ciutat a part de signar contractes en tovallons de paper també, de vegades, s’hi resolen petits problemes de matemàtiques!

Després com que estava realment cansat he agafat el 45 que m’ha portat directe cap a casa. Ha estat tota una petita aventura i un petit viatge en el temps apte per a tots els pressupostos, sense necessitat de vacunes, ni tractaments de malària, ni maletes, ni motxilles, ni avions,...i és que Barcelona, malgrat tot, continua sent màgica per a mi.

Per cert, també he descobert nous i apassionants paisatges matemàtics!

Sabrieu dir a quins llocs de Barcelona corresponen aquests quatre paisatges matemàtics?
I sabrieu dir-me quants possibles camins podia arribar a recòrrer la formiga matemàtica?

Desapareixent...

Un bon dia el meu amic Ocaixi va decidir abandonar aquest món. No es tractava d'un suïcidi, ni molt menys. Simplement volia arrecerar-se en un lloc on ningú el molestés, un lloc on pogués estar pensant i divagant durant tot el temps que a ell li vingués de gust. Segles, si era necessari!

Un lloc on poder contemplar sense ser contemplat. Un lloc on poder pensar sense ser pensat. Un lloc on poder imaginar sense ser imaginat. Un lloc allunyat de la mirada i el pensament de la gent mediocre i vulgar d'aquest món.

Després de tants anys estudiant física teòrica i matemàtiques sabia perfectament on trobar els punts de connexió o traspàs cap a altres dimensions. A la Universitat de Ciències Físiques, Ocaixi havia cursat assignatures molt estranyes que parlaven de camps electromagnètics quàntics, de tensors espai-temporals, de mètriques de Schwarzschild, de contraccions de Lorentz...

No sé ben bé en quins càlculs s'havia basat per arribar a les conclusions a les que va arribar. El fet és que em va assegurar que en el meu pis del carrer Rogent hi havia una singularitat espai- temporal de primer ordre i em va demanar permís per accedir-hi.

Jo sempre he estat un incrèdul i de seguida vaig pensar que el meu amic Ocaixi patia una mena de bogeria o de psicosi i que estava seriosament trastocat. El cas és que vaig acabar accedint a les seves peticions.

Em va assegurar que la singularitat espai-temporal de primer ordre que havia localitzat en l'escàs territori del meu refugi de cinquanta metres quadrats era de tipus dinàmic. És a dir, les seves coordenades temporals variaven de forma més o menys aleatòria. Segons els càlculs que em va mostrar, la probabalitat màxima de superposició es trobava en un punt determinat i a una hora determinada de la nit.

Així que, a les 2:30 de la nit d'una agradable nit de tardor, Ocaixi es va dirigir lentament però amb decisió cap a un vell bagul que tenia en el menjador del pis. Jo ja feia anys que havia comprat aquell bagul a les Andròmines de Montcada i Reixac i gairebé no l'obria mai. Hi guardava una manta, uns discs de Mike Oldfield i una col.lecció de CIMOC. Per a mi, aquell bagul només era un simple objecte decoratiu. Però el que mai m'hagués pogut arribar a imaginar és que aquell bagul, que provenia de la República Oriental del Uruguay, acabaria sent una porta a una altra dimensió.

Ocaixi es va plantificar davant d'aquell bagul el va obrir amb molt de compte i s'hi va introduir molt lentament, mentre part del seu cos s'anava volatilitzant. Finalment el bagul es va empassar totalment l'Ocaixi i només en van quedar una samarreta i les seves bambes.

Em vaig quedar petrificat! L'Ocaixi tenia raó i els seus càlculs eren correctes. No estava boig, ni trastocat... els bojos érem tota la resta de la humanitat i ell simplement fugia de nosaltres.

S & G

Una de les coses agradables que m’ha passat al llarg d’aquest viatge a Londres ha estat retrobar-me amb un petit trosset del meu passat musical. Em trobava jo en una d’aquelles enormes tendes de música que hi ha per Oxford Street, quan de sobte vaig veure una súper oferta que no podia deixar escapar de cap de les maneres! Es tractava d’una preciosa caixa amb tota la discografia original de Simon and Garfunkel més el mític concert del Central Park, tot en una presentació impecable i per només 8 lliures esterlines. Increïble! 8 pounds! 8 pounds pels 5 CDs originals de S&G més el DVD del concert d’acomiadament a NYC.

Ja se que a l’any 2009 no és gaire “fashion”, declarar-se fan de S&G. La primera vegada que vaig escoltar cançons de Simon & Garfunkel va ser quan anava a l’escola El Turó i la professora Carme va portar un disc recopilatori de les seves cançons. Recordo que a la portada d’aquell disc apareixien els dos músics caminant per una platja plena de gavines. Em sembla recordar que un d’ells portava una guitarra penjada a l’esquena, mentre caminava pensatiu mirant el terra, però d’això ara mateix no n’estic segur ja que han passat molts anys des d’aleshores. El que si recordo és que de seguida em van atrapar aquelles boniques melodies i aquelles dues veus tan ben sincronitzades. També recordo la dominant taronja de la portada del disc del que semblava una posta de sol. O potser era l’alba?

Després acabaria avorrint-los durant una temporada ja que la seva música em semblava massa ensucrada i finalment els acabaria desterrant dels meus gustos musicals. Era el moment d’escoltar Pink Floyd, Yes, King Crimson, Genesis, Jethro Tull, David Bowie...
Anys més tard, durant la dècada dels noranta, els meus gustos musicals van declinar cap alguns grups del Brit Pop com ara Radiohead, James, Suede, Blur, Pulp, Super Furry Animals,...o bé cap a grups americans molt més contundents com ara Pearl Jam, Soundgarden, Alice in Chains, Jane’s Addiction, Red Hot Chilli Peppers... Reconec que en aquells moments, m’hagués avergonyit si algú m’hagués enxampat escoltant alguna “cançoneta” de S&G. Quina estupidesa!

Però amb el pas dels anys els he tornat a trobar a faltar i molts cops, mentre esmorzo, m’agrada posar algun dels seus temes emblemàtics: “I am a rock”, “Scarborough fair”,.. Escoltar S&G em fa recordar tots aquells anys tan feliços a l’escola El Turó: me’n recordo d’aquella travessa que vam fer a la Vall d’Aran amb els professors Juli i Jacint, dels dies que vam passar a casa la professora Montse a Perelada, dels Carnestoltes a Can Sant Joan,...

Alguns de vosaltres us estareu preguntant: I què tenen a veure Simon & Garfunkel amb els teus paisatges matemàtics? La resposta és molt fàcil. Art Garfunkel a part de ser un magnífic cantant també va estudiar matemàtiques a la Universitat de Columbia. I per tant segur que va ser capaç de veure o imaginar magnífics paisatges matemàtics, potser alguna de les seves cançons podria haver estat inspirada en alguna geometria o simetria...o fins i tot en algun bonic teorema! Però d’això, per desgràcia, no en tinc cap prova!

Una tarda, ara farà quatre o cinc anys, mentre passejava per l’albufera de València el sol va començar a caure lentament mentre tota l’atmosfera es tenyia d’un preciós color ataronjat. Vaig veure dos personatges que estaven asseguts en un petit moll de fusta mentre contemplaven l’infinit. I de sobte vaig tenir una mena de “deja vu”, no sé per quin motiu, el meu cervell va recordar una portada d’un antic disc ja oblidat. A la portada d’aquell disc hi havia una fotografia de dos músics passejant per una platja. Un d’ells era també matemàtic. I tot semblava envoltat per una misteriosa i màgica posta de sol. O potser era l’alba?

Micro paisatges matemàtics i geològics

Estimat amic fuflunaire:

L'altre dia vaig anar a casa de l'August a la recerca de fabulosos micropaisatges matemàtics. L'August és un almogàver modern que organitza expedicions geològiques, cates de vins, partides d'escacs i dinars inacabables en el seu refugi del Poblenou.

L'August és la reencarnació de Roger de Flor al bell mig de Granollers, però en comptes d'empunyar una espasa, acostuma a portar un martell de geòleg, una lupa binocular, una caixa sempre plena de minerals i la seva inseparable pipa de mariner que l'acompanya allà on va.

Un bon dia l'August em va fer notar que, efectivament , el món de les roques i minerals també és una font inacabable de micropaisatges matemàtics. Només cal un trípode, un bon objectiu macro i una mica de paciència per anar descobrint cristalls amb simetria esfèrica, romboedres, dodecaedres, cubs, cilindres i d'altres formes cristal·lines de l'apassionant món mineral.

Així que vaig agafar el trípode i la càmera i vaig anar a casa l'August. Va ser un viatge apassionant on vam descobrir centenars de micro paisatges matemàtics. Curiosament el nombre de paisatges matemàtics descoberts va ser inversament proporcional al nivell de vi que quedava a l'ampolla que hi havia damunt la taula. Cada cop em costava més enfocar aquells microminerals...Finalment vam haver de deixar aquell enriquidor viatge a través de l'objectiu de la càmera i vam acabar obrint una altra ampolla de vi mentre em donava unes lliçons magistrals sobre crista.lografia, roques magmàtiques, sediments i conglomerats metamòrfics.

L'August, que també és un sibarita i un bon gastrònom, també m'ha suggerit que es poden trobar molts paisatges matemàtics en el món de la gastronomia creativa (esferificacions, simetries radials, ...) Hem quedat un altre dia per fer la pertinent recerca i treure'n les conclusions que faci falta. Un dia us parlaré de la Societat Gastronòmica Secreta que l'August i una colla de professors van muntar ara ja fa uns anys en un local del Poblenou.

Espero haver atès d'alguna manera la petició que em vas fer en un post ara ja fa unes setmanes. Prometo, en un futur no molt llunyà, parlar d'espirals logarítmiques, de fractals, del número auri...perquè efectivament la mare natura és també una font inesgotable de paisatges matemàtics.

Atentament.

L'etern buscador de paisatges matemàtics.

Fotografia matemàtica

Una fotografia matemàtica és qualsevol foto que contingui algun element matemàtic o del món de l’abstracció. Rectes paral·leles, simetries, figures geomètriques, corbes, superfícies, vectors, funcions, números, punts, còniques, quàdriques, geodèsiques, asímptotes, mosaics, teselacions,... la llista és inacabable!

Demà dissabte marxo cap a Londres amb els meus alumnes a la recerca de fotografies matemàtiques. Seran cinc dies intensos i espero que ben aprofitats. Espero que de la quantitat n’acabi sorgint la qualitat. Com tots vosaltres sabeu la recerca de la bellesa matemàtica no sempre és fàcil de trobar. Caldrà molta inspiració, molta perseverança,...i també una mica de sort, ja que es preveu que hi hagi dies plujosos. I és clar, si les condicions lumíniques no són les adequades poca cosa podrem fer. El que està clar és que tots tenen una gran il·lusió i unes enormes ganes de descobrir nous i apassionants paisatges matemàtics!

Tornaré a estar molt a prop de la Battersea Power Station i podria tornar a fer un intent per entrar a la recerca de la tercera corda trencada del David Gilmour, però no ho faré. Una cosa és anar a Londres pel teu compte i l’altre anar-hi com a responsable d’un grup de més de 40 adolescents. Així que la relíquia Pinkfloydiana de la que ja us vaig parlar en un altre post haurà d’esperar un millor moment.

Fins la tornada!

Cementiri de trens d'Uyuni

Aquella vella locomotora havia estat transportada feia més de cent anys des de la ciutat anglesa de Manchester. Aquelles imponents màquines tractores havien estat fabricades a la Beyer Peacock Ltd. i posteriorment havien travessat l’oceà atlàntic a bord de vells i enormes vaixells de vapor. Quantes persones haurien treballat per construir aquelles vies de tren? Quanta gent s’hi havia deixat la salut i la vida per portar totes aquelles tones de ferro fins aquell desert situat a més de 3000 metres d’alçada?

La primera ruta ferroviària a Bolívia va ser la del ferrocarril Uyuni-Antofagasta i es va inaugurar a finals del segle XIX. Per ella hi circulaven vagons carregats amb plata i estany, provinents de les mines de Huanchaca. Aquells preciosos carregaments havien d’arribar a la ciutat portuària d’Antofagasta on es processava el mineral o bé es carregava en enormes vaixells de vapor.

El tren havia arribat a Bolívia amb una gran expectació social. La simple imatge d’una locomotora representava el símbol del progrés. Qualsevol novetat relacionada amb el tren que vingués d’Europa era celebrada amb una gran i solemne inauguració. La “febre del tren” va ser relativament breu ja que de seguida es va poder comprovar que els trens s’emportaven els minerals, i en canvi el progrés i la riquesa no arribaven mai a les pobres terres bolivianes.

Ara ja feia molts anys que tota aquella activitat havia iniciat la seva decadència i finalment la seva desaparició definitiva. Aquells fòssils tecnològics del passat es resistien a desaparèixer i lluitaven contra el pas del temps i dels elements meteorològics.
Encara ara, durant les fredes i solitàries nits d’hivern, es poden sentir els esperits que romanen atrapats en tots aquells laberints d’òxid metàl·lic .

Encara ara, si un escolta amb atenció, es poden sentir els crits del maquinista ordenant augmentar la pressió de la caldera. Encara es pot escoltar la veu de tots aquells indígenes que van dedicar les seves vides a transportar totes aquelles travesseres, rails, i esquelets metàl·lics fins aquell altiplà ... mentre mastegaven fulles de coca per poder aguantar les llargues i inacabables jornades laborals en condicions de semi-esclavisme.

Mentrestant el vent, els canvis de temperatura, la humitat, les tempestes de sorra continuen rovellant i desgastant aquests enormes fòssils mecànics que van regnar durant tots aquells anys i que es resisteixen a desaparèixer per sempre més.

Així és la vida!

He imaginat coses que no creureu

Aquella calorosa tarda d’estiu vam arribar a Osaka amb el shinkansen de les 20:00. Calia recórrer la ciutat de nit si volíem recuperar l’esperit i la màgia d’aquella pel·lícula. A més, si volíem tenir l’oportunitat de trobar-nos cara a cara amb un d’aquells replicants calia deixar-se portar per la imaginació i sobretot ser molt persistents en les nostres intencions. M’havien dit que aquella era la ciutat ideal per intentar recuperar aquella màgia ara perduda i enterrada pel pas dels anys. Però calia fer-ho de nit!

Calia deixar-se engolir per aquelles multituds de persones anònimes que parlaven aquell idioma tan estrany i llunyà al nostre. Així que vam dirigir-nos cap al barri de Dotombori. Allí ens vam perdre i ens vam deixar engolir per aquella enorme marea humana . Segur que entre aquells milers d’éssers humans, de yakuzes, de hikikomoris, de prostitutes, de venedors ambulants, de policies camuflats, de salarymen, de joves fashion, d’oficinistes... s’hi trobava amagat aquell replicant que fugia de nosaltres! Primer de tot calia localitzar-lo i això era una feina prou difícil, per no dir impossible.

La lluna i els anuncis lluminosos es reflectien a l’aigua dels canals. Centenars de neons, d’enormes pantalles de plasma, de sales de patchinko, d’hotels de l’amor super horteres, de llocs ambulants de menjar ràpid, de restaurants de noodles i ramen, d’hotels càpsula,... però cap rastre del nostre replicant. Estàvem convençuts que en aquells moments ell ja sabia perfectament de la nostra existència i fugia per amagar-se en algun lloc secret de la ciutat.

Finalment quan ho havíem donat tot per perdut se’ns va ocórrer que potser s’havia amagat en el lloc més alt de la ciutat: l’edifici Umeda. Així que, sense perdre un sol minut, ens vam dirigir cap aquella torre futurista i vam pujar en aquell ascensor supersònic que ens va portar a tota velocitat cap a l’enorme terrassa. Des d’aquella terrassa vam contemplar embadalits aquella enorme metròpoli inacabable: milions de llumetes que es perdien en l’horitzó, éssers humans que s’havien convertit en insignificants puntets, canals il·luminats que esdevenien rectes de colors...un bonic i sorprenent paisatge matemàtic!

De sobte, va començar a caure una fina pluja, la gent de la terrassa va marxar i ens vam quedar sols. Sols? No del tot... a pocs metres de nosaltres vam poder contemplar emocionats com una silueta humana ens estava mirant i es dirigia cap a nosaltres. Estic segur que tots sabeu com va acabar aquesta història i el què ens va dir aquell estrany personatge en aquella calorosa nit d'estiu a la ciutat japonesa d'Osaka.

Mines antipersona

Segurament pensareu que aquesta és una curiosa foto matemàtica. Centenars d’objectes  cilíndrics aplanats i acolorits disposats de forma més o menys ordenada. Si més no, un bonic mosaic de textures i colors! Però la realitat que s’amaga darrera d’aquesta “bonica” imatge és molt trista i cruel.

 Cada un d’aquests cilindres que veieu a la imatge és una mina terrestre antipersona. Per sort, totes aquestes mines han estat localitzades i desactivades per un ciutadà de Cambotja anomenat Aki Ra.

 Aki Ra va néixer l’any 1973 i quan tenia 5 anys d’edat els seus pares van ser executats pels Khmers Rojos. El jove Aki Ra va ser empresonat i ensinistrat junt amb altres nens per  posar mines terrestres en els camps i a les selves de Cambotja durant el terrorífic període en que els Khmers Rojos van assassinar més d’un milió de persones del seu propi país durant els anys 1975-1979.

 Durant els darrers anys Aki Ra s’ha dedicat a localitzar, desactivar i emmagatzemar totes les mines que ha pogut a casa seva, de manera que ha convertit la seva llar en un autèntic museu de Mines terrestres per tal d’explicar als turistes aquest greu problema que afecta el seu país.

 De fet l’any 2000 el Govern de Cambotja va detenir Aki Ra tot argumentant que en el seu “museu” hi podia haver material militar perillós, és a dir alguna mina que no estigués desactivada i també el va acusar de donar una imatge negativa de Cambotja.

Finalment es va descobrir que darrera d’aquestes acusacions hi estava implicat l’estament militar del país ja que en la mateixa ciutat de Siem Reap ja hi havia un museu “de veritat” i oficial per exposar material bèlic.

 Aki Ra però s’ha sortit amb la seva i manté l’exposició de material localitzat i desactivat per ell mateix en el jardí de casa seva. A més ha promogut una associació que dóna feina a les víctimes de les mines terrestres. També ha estat contractat per exèrcits d’altres països per ensenyar a desactivar mines terrestres.

Per desgràcia, encara queden milers de mines amagades a la selva o en els camps i vora les plantacions de tot el Nord Oest de Cambotja. De fet a pocs quilòmetres dels famosos temples d’Angkor Watt encara hi ha zones minades on l’accés és restringit i sempre sota la responsabilitat i coneixement del visitant.

 Després d’haver vist i conegut moltes víctimes de les mines terrestres en territori Cambotjà no puc evitar enviar, encara que sigui de paraula o de pensament , el meu més profund odi i menyspreu contra tots aquells enginyers que han inventat i dissenyat aquests artefactes malignes, contra aquells que les han finançat i contra aquells que les han distribuït.

Si voleu saber més coses interessants sobre Aki Ra podeu visitar la Wikipedia  Al final de la pàgina de la Wiki hi trobareu més enllaços a altres pàgines que parlen sobre el problema de les mines antipersona. 

També trobareu informació molt valuosa però molt dura a  Las Minas Antipersona en Camboya

Per cert, a tots aquells cabrons a qui he fet abans referència, ja fa molts anys que el gran Bob Dylan els hi va dedicar aquesta cançó:

Battersea Power Station (II)

Aquell matí assolellat d’hivern vaig saltar la tanca que delimitava el recinte de seguretat de la Battersea Power Station. No va passar ni mitja hora fins que em van detenir dos guardes de seguretat.

-What the hell are you doing here? Don’t you know this is a private property?
-Ehm. Sor... sorry. I didn’t do it...i only was trying to make some pictures of this beautiful factory. I just wanted to get close a little bit.
-You’re arrested and you’ll be fined!

Vaig intentar convèncer aquells dos armaris que em deixessin anar que jo simplement era un turista que estava fent fotos matemàtiques de la ciutat de Londres i que no era la meva intenció fer mal a ningú ni robar res!

El que no els hi vaig explicar era la meva intenció d’entrar a la fàbrica i recuperar el seu tresor amagat no fos cas que em prenguessin per boig... o pitjor encara, no fos cas que em creguessin i s’apropiessin indegudament de la sagrada i oculta relíquia.

-Please let me leave! I just wanted to make some mathematical pictures! I’m not a vandal or thief. Please believe me. I can give you the adress of my hotel...you can speak to my wife. Please! I’m a poor math teacher just making some pictures of ...

Finalment els dos goril·les em van deixar marxar, encara que van prendre nota del meu passaport i em van amenaçar amb arrestar-me i posar-me una multa si tornava a reincidir.

Així que finalment vaig desistir d’entrar a la Battersea Power Station i la tercera corda de la guitarra resta amagada encara a les entranyes polsegoses d’aquell nau industrial, d’aquell enorme i rovellat Titànic urbà.

Encara que us sembli increïble aquesta història és totalment verídica excepte en un petit detall. La galeria en la que es troben les escales que baixen cap a la sala de les taquilles en realitat no era la tercera, i l’armariet que conté el doble fons no es troba pas a la taquilla número 78. Us pensàveu que us diria exactament el lloc on es troba la corda trencada amb la que David Gilmour va composar i tocar per primera vegada l’emblemàtica cançó “Wish You Were Here”?

Aneu arreglats! Tard o d’hora tornaré a la Battersea Power Station a buscar el meu petit tresor. D’això si que en podeu estar segurs. Encara que sigui per la memòria d’en John!

Battersea Power Station

Aquell assolellat matí d’hivern em vaig dirigir cap a les afores de Londres en un desbaratat tren de rodalies. El meu destí? Una zona industrial bruta i degradada. El meu objectiu? Entrar d’incògnit a la Battersea Power Station. Si! La mítica fàbrica que apareixia a la portada del disc Animals de Pink Floyd.

El lloc no és precisament idíl·lic, ja ho sé. Per a que us feu una lleugera idea de la meva estúpida ocurrència us podeu imaginar la situació inversa. Imagineu-vos per un moment un turista britànic que vingués a visitar Barcelona i en comptes d’impregnar-se de modernisme gaudinià o de gòtic medieval barceloní decidís pujar en un tren de rodalies de la RENFE per baixar a Montcada Can Sant Joan i entrar d’incògnit a la fàbrica de de l’Asland.

Clar que hi ha una petita diferència. Per començar, la Battersea Power Station és un recinte industrial abandonat, tapiat, decrèpit i ancorat en el passat. De fet havia estat una de les primeres Centrals Generadores d’Electricitat de la capital londinenca fins que va ser abandonada cap els anys 50.

L’any 1978 va aparèixer en una portada d’un disc de Pink Floyd anomenat Animals ,junt amb la foto d’un porc gegant inflable volador. Des d’aleshores la fàbrica va entrar a formar part de l’imaginari col·lectiu de tota una generació de joves amant de la música psicodèlica i del rock progressiu d’aquesta banda britànica.

L’any 1999 vaig conèixer a Atenes un vell penjat exhippie Americà que em va explicar que anys després que la mítica fàbrica Pinkfloydiana restés abandonada definitivament aquesta havia esdevingut un niu d’ocupes, de junkies i diversa fauna urbana londinenca.
Aquest hippie havia hi estat vivint des de l’any 88 fins el 92 amb una colla de nostàlgics seguidors del grup fins que una banda de petits traficants d’heroïna va decidir apropiar-se d’aquelles instal·lacions abandonades i va fer fora tots aquells bruts i pollosos hippies. En John va haver de marxar, però va amagar una petita capseta en un dels soterranis amb la intenció de recuperar-la algun dia. Em va explicar que en una de les antigues sales de turbines, concretament a la tercera, hi havia unes escales que conduïen cap a un soterrani, on hi havia unes "taquilles "metàl·liques dels antics treballadors. A sota de l’armariet que contenia la taquilla número 78 hi havia un doble fons on ell hi havia amagat el seu petit tresor. Aquest petit tresor era ni més ni menys que la tercera corda trencada de la guitarra amb la que David Gilmour va tocar per primera vegada “Wish You Were Here” cap allà l’any 1974. Aleshores en John era un “roadie” que seguia la banda britànica per tot el món i que en aquells moments estava en el seu màxim de popularitat després de l’apoteòsic èxit de l’inoblidable i genial disc “Dark Side Of the Moon”.

El dia 22 de Novembre de l'any 1974 als Sophia Gardens de Cardiff en John va aconseguir entrar al backstage dels músics i allà va observar com el seu admirat David Gilmour tocava/improvisava els acords de la mítica cançó, John devia ser el primer ésser humà que sentia aquella bonica melodia que estava creant aquell geni de la música moderna... quan de sobte David Gilmour va intentar afinar la guitarra i una de les cordes (concretament la tercera, la que dóna un La a l’aire) es va trencar. El músic britànic va maleir de mala manera aquella guitarra (ja us podeu imaginar, amb el típic F*** You! que sempre tenen a la boca els anglosaxons) i va canviar la corda per una de nova. El que no sabia en David Gilmour és que estava sent observat per John el Roadie i que posteriorment aquest s’apropiaria de la corda trencada que ell havia llençat a terra.

En John va guardar aquella corda durant molts anys com si fos talment una relíquia. Aquella corda havia generat el so que barrejat amb altres produiria els acords d’aquella màgica melodia que perduraria durant tants anys en el seu cervell. I per tant aquella corda era un tresor, una relíquia, un successió de macromol·lècules sagrades de polímer que havien estat unides per emetre per primera vegada en la història de la humanitat aquell so primigeni.

Quan vaig conèixer en John l’any 1999 al Youth Hostel d’Atenes ell es dirigia cap a el Cairo per passar la nit del mil·leni al costat de les Piràmides de Gizah. Segons ell, hi havia una trobada de Pink Floydians i em va convidar a anar-hi. Fins i tot em va donar l’adreça d’Atenes on podia comprar un bitllet molt barat d’avió per arriba a El Cairo el 26 de Desembre. Però jo malgrat que vaig estar prou temptat d’anar a passar la nit de canvi de mil·leni al costat de les piràmides tenia altres plans.

L’any 2005 vaig rebre un eMAIL molt tràgic d’en John. Feia temps que havia tornat a Los Angeles, estava vivint un altre cop a casa dels seus pares i... s’estava morint de càncer. Em va explicar que estava enviant eMAILS a tota la gent que havia conegut al llarg de la seva vida...fins i tot als “éssers humans desconeguts amb els que havia passat unes hores o uns dies de la seva existència” (traduït textualment de l’anglès tal i com m’ho va escriure). En aquell trist eMAIL m’explicava que em recordava molt vagament, però que tenia un bon record de mi i se n’en recordava de les converses que havíem tingut sobre PF durant aquells dies de finals de Novembre de l’any 1999.
També m’explicava que mai havia pogut tornar a Londres per recuperar el seu petit tresor amagat a les entranyes de la Battersea Power Station, i que si jo m’animava doncs que em podia quedar la corda de la guitarra d’en David Gilmour.

Malgrat que vaig contestar aquell eMAIL, vaig tardar unes setmanes en intentar redactar un text prou correcte en anglès. La veritat és que tampoc sabia molt bé que dir-li. La veritat és que jo tampoc recordava gaires coses d’ell. Això si, recordava que era un personatge prou peculiar i que m’havia fet gràcia quan vam coincidir a Atenes i de fet he de confessar que no m’havia acabat de creure del tot la història de la corda trencada.
Així que ho vaig deixar estar, mentre reia per dins meu pensant en aquell pobre exhippie. En el fons jo no m'acabava de creure tota aquella història de la corda de la guitarra. Segur que s’hauria inventat tota aquella pel·lícula mentre estava sota els efectes d’alguna substància psicotròpica.
El que si que em vaig creure va ser la seva malaltia... malauradament devia ser certa ja que no vaig obtenir mai més cap resposta d’en John.
Durant un cert temps no em vaig poder treure aquella història del cap i fins i tot vaig localitzar una foto que creia perduda i que ens havien fet al Youth Hostel d’Atenes junt amb altres backpackers. Aquella foto em va ajudar a recordar... però finalment el pas temps va anar diluint aquells records que ara em semblen tan llunyans.

El passat desembre del 2008 vaig visitar Londres per primera vegada a la meva vida.
Ara farà deu anys que vaig conèixer aquell estrany personatge en un Youth Hostel a Atenes, vaig conversar unes hores al llarg d’una o dues setmanes,... després aquell estrany i tràgic eMAIL cinc anys més tard i finalment res més: silenci, el buit, el no-res.
Els dies previs al viatge, durant el vol a Heathrow no em podia treure del cap la imatge d’en John, la imatge de la fàbrica del disc d’Animals, el soterrani,... estaria la capseta amagada a sota de la taquilla tal i com m’havia explicat en John, després de tants anys?.
Com us podeu imaginar el meu viatge a Londres es va convertir en una única obsessió: localitzar i entrar d’incògnit a la Battersea Power Station.

Continuarà...