Simetria III

Finalment, després de molts dies vagant per aquesta espessa selva, he trobat un riu enorme.  La meva salvació! Aquest riu és com una enorme serp arrossegant-se lentament per un infinit mar de vegetació.  

Quan era adolescent, jo sempre havia somiat en remuntar el riu Mekong o el riu Congo i anar a la recerca del cor de les tenebres. Allà on l'home blanc no hi havia posat mai els peus. Els pocs occidentals que ho havien intentat havien acabat totalment trastocats per la seva pròpia bogeria. Jo sempre havia volgut emular un d'aquells intrèpids exploradors del segle XIX, quan encara hi havia en el nostre planeta llocs verges per descobrir, punts misteriosos que encara no apareixien en els mapes...

Que trist! Ja no queden llocs per explorar, ni forats per omplir en els mapes: el nostre món s'ha fet petit. I per descomptat, tampoc queden intrèpids exploradors del segle XIX!  Només queden turistes del segle XXI! 

Jo, ara mateix, en comptes de remuntar aquest riu, només penso en deixar-me lliscar per ell i arribar al mar. Desitjo més que mai que aquesta aventura s'acabi, no vull acabar la resta dels meus dies llegint llibres de matemàtiques en un racó perdut d'aquesta selva mentre la malària acaba lentament amb la meva existència. Necessito tornar a la civilització. M'han d'ingressar urgentment en algun hospital i proporcionar-me una bona dosi de tractament antipalúdic. A més a més, els meus dolors d'esquena s'han despertat i ja no em queden Voltarens. Aquí no hi ha farmàcies de guàrdia, ni ambulatoris, ni res de res! Necessito amb urgència una visita al dentista. No sé quants dies fa que no em puc rentar les dents!

Necessito sortir d'aquest infern. Crec que aquesta calor i aquesta humitat m'estan afectant. Necessito arribar al mar. Si us plau! Vull arribar al mar!  És el que més desitjo en aquests moments de la meva existència!

Miro un cop més cap a l'infinit, però només sóc capaç d'enfocar el meus peus llagats i castigats pel sol del tròpic. Quína obsessió: com sempre, acabo pensant en l'estranya simetria dels meus peus.

Simetria II

Ja no sé quants dies han passat des que l'avió es va estavellar en aquesta maleïda selva. Això és un petit paradís tropical i la veritat és que no em falta de res. Fa dies que bec aigua del riu, menjo fruites exòtiques dels arbres, i fins i tot he arribat a caçar algun petit mamífer i un parell d'aus.

Quan jo era petit somniava en ser un Robinson Crusoe i perdre'm en una illa deserta. Durant molts anys aquest ha estat un desig o un somni recurrent per escapar d'una avorrida,  monòtona i previsible  vida d'oficinista en aquella ciutat tan grisa.

Ara però, me n'adono que això no és gens divertit. Fa dies que no em puc canviar els calçotets i se m'està llagant el cul, sospito que dec haver haver agafat alguna mena de paràsit per culpa d'aquesta aigua, fins i tot em sembla haver estat fiblat per algun mosquit portador de la malària. Em trobo feble i tincs nàusees. No sé si duraré molts dies en aquestes condicions.

Haig d'escapar-me d'aquesta selva, haig d'arribar a algun lloc on algú em pugui ajudar. Necessito tornar a la civilització. El que donaria ara per un pollastre a l'ast de la Girella, com m'agradaria saber si el Barça ha tornat a guanyar la lliga, fins i tot trobo a faltar aquells apassionants fulls de càlcul i desitjo tornar a obeïr cegament al gran fill de puta del meu "jefe"!

Per què els humans sempre desitgem allò que no tenim?  Per què m'he passat mitja vida desitjant això i ara que ho tinc només faig que pensar en tornar allà on era?

Em sento feble, molt feble. Abaixo els ulls i contemplo una vegada més l'estranya simetria dels meus peus. 

Simetria

No sé que hi faig en aquesta exhuberant illa selvàtica. Des que l'avió es va estavellar he perdut qualsevol mena de contacte amb la civilització. Que bé! Ja no hauré de tornar a treballar en aquella avorrida oficina, ni hauré d'aguantar mai més aquell imbècil del meu "jefe", ni hauré de tornar a fer aquells odiosos fulls de càlcul amb la comptabilitat annual, ni hauré de matinar mai més per agafar aquell maleït tren de rodalies que mai arribava  a l'hora.

 

Aquí no hi ha molts paisatges matemàtics però, per sort, s'han salvat uns quants llibres de geometria,...espero que els mosquits de la malària no m'emprenyin gaire mentre em concentro en aquests bonics teoremes matemàtics. Ara tinc tot el temps del món per desxifrar-los!

Miro cap a l'infinit però només sóc capaç de veure l'estranya simetria dels meus peus.

Les piràmides d'en Quim Monzó

Des d’un punt de vista estrictament geomètric, una piràmide és un políedre limitat per una base, que pot ser un polígon qualsevol, i per cares triangulars que coincideixen en un únic punt anomenat vèrtex de la piràmide.

De piràmides, n’hi ha de molts tipus: piràmides de base quadrada (com les famoses piràmides d’Egipte), piràmides regulars de base triangular (també anomenades tetràedres), piràmides de base hexagonal...

Recordo que quan estudiava 6è d’EGB em va cridar molt l’atenció que el volum d’una piràmide qualsevol sempre coincidís amb una tercera part del volum del prisma corresponent amb la mateixa alçada i la mateixa base. Dit d’una altra forma: si tenim un prisma qualsevol, per exemple un prisma recte hexagonal aquest té un cert volum que es pot calcular aplicant la fórmula coneguda: superfície de la base per l’alçada d’aquest. Cosa que sempre he trobat lògic i raonable. Molt bé, doncs si ens imaginem una piràmide que tingui la mateixa base que l’anterior prisma i la mateixa alçada, el volum d’aquesta vindrà donat per la mateixa fórmula però dividit exactament per tres. Aquesta propietat sempre em va intrigar molt!

No va ser fins molts anys més tard que vaig aprendre a utilitzar el càlcul diferencial per poder demostrar aquest fet amb integrals de volum. Aleshores va ser quan vaig començar a apreciar la bellesa de les matemàtiques.

Recordo també un examen que em van posar el primer any a la Facultat de Ciències Físiques que parlava d’una piràmide d’Egipte i uns esclaus que l’havien de construir.

Després d’una hora fent arqueologia entre els meus antics apunts de Càlcul diferencial he trobat aquell maleït examen de discutible bon gust i poso l’enunciat a la vostra disposició per si algú s’anima i el vol intentar fer.

“Una piràmide egípcia de base quadrada té una alçada de H=100 m, el costat de la base val 2H i està feta amb pedres de densitat d=3000 kg/metre cúbic.

a) Calculeu el treball necessari per a construir la piràmide, suposant que es disposa de les pedres a peu d’obra.

b) Suposant que la piràmide va ser construïda en 10 anys, per esclaus que feien un treball de 350.000 Joules per dia, quants esclaus van ésser necessaris per construir-la? “

La resposta final és que es necessitaven 783 esclaus per construir-la. Un resultat que suposo és totalment erroni des d’un punt de vista real i històric.

Per cert, aquell examen el vaig suspendre i en aquells moment vaig maleir el p*** professor que s’havia fet el graciós amb aquell enunciat tan políticament/èticament incorrecte. Ara però, amb la distància, em fa certa gràcia i fins i tot el trobo original.

Avui me recordat de les piràmides d’Egipte quan estava visitant l’excel·lent i original exposició sobre l’escriptor Quim Monzó al Centre d’Art Santa Mònica. Una exposició que us recomano aneu a veure i que de ben segur que us farà venir ganes de llegir uns quants contes d’aquest genial i gran escriptor.

Un somni matemàtic

Avui m'he despertat després d'un llarg somni matemàtic. He somniat que em trobava a la ciutat de Londres i que per una estranya raó vivia tancat a la part més alta de l'edifici 30 St Mary Axe. A l'edifici no hi havia ningú tret de mi i d'un enorme ordinador central que em parlava, jugava amb mi als escacs i escopia constantment fórmules matemàtiques de tot tipus.

Recordo amb claredat que a l'interior d'aquest edifici no hi havia aire respirable i jo havia de dur una escafandra connectada a una bombona, així com una mena de vestit d'astronauta molt incòmode que algú m'havia subministrat. Era tot molt estrany, com en la majoria de somnis. El meu cos podia flotar. Era com si en tot aquell modern edifici algú hagués desconnectat el camp gravitatori terrestre.

He mirat a través de les finestres d'aquest enorme gratacels i he vist els carrers totalment deserts. M'he espantat i la meva primera reacció ha estat sortir de l'edifici., treure'm aquella maleïda escafandra i aquella pesada i incòmoda armadura futurista. Als carrers no hi havia ni una ànima. Per aquest motiu he començat a córrer fins a St Paul's Cathedral. He entrat per veure si allí tenia la sort de trobar-me amb algun turista, però no ha estat així. Desesperat , he alçat els ulls cap amunt però només he vist bonics motius geomètrics en una enorme bòveda semiesfèrica.

He sortit un altre cop al carrer i he caminat quilòmetres avall fins arribar a les Houses del Parlament on el sol de mitja tarda hi dibuixava un munt de línies convergents que es dirigien cap al cel. Però no hi havia ningú, absolutament ningú!

M'he quedat de pedra quan he vist que el London Eye estava completament aturat amb totes les seves cabines buides de turistes. He contemplat amb molta tristesa la seva gran silueta circular.

M'he dirigit cap a la Battersea Power Station i he pensat que aquell era el moment d'entrar d'una vegada per totes i recuperar una antiga corda de guitarra abandonada. M'he quedat absort contemplant totes aquelles formes geomètriques que m'eren tan familiars.

He tingut por de tanta solitud i he marxat altre cop cap al centre. El sol ha començat a amagar-se i l'atmosfera s'ha tenyit de color vermell. Des del pont del Millenium he contemplat la silueta del Big Ben, però jo només he vist un histograma de freqüències que retallava aquella bonica posta de sol.

Nerviós i espantat, he dirigit les meves passes cap al Museu d'Història Natural, on per fi, m'ha semblat trobar alguna forma de vida. Però no! No ha estat així. Milers d'androides de metall es passejaven per les instal.lacions d'aquest enorme museu. Definitivament, la ciutat estava poblada per robots i màquines sense vida.

Un calfred m'ha recorregut tot el cos i el pànic s'ha apoderat de mi. He marxat corrents per entrar en un pub modern, on un robot molt amable m'ha convidat a prendre una deliciosa beguda. Després d'haver recorregut tants quilòmetres em trobava extenuat. M'he distret contemplant unes formes geomètriques de colors que penjaven del sostre, mentre anava xarrupant aquell estrany beuratge. Finalment m'he acabat dormint dins el meu propi somni!

I de seguida he començat a somniar en un nivell de subconsciència onírica superior. He somniat que es feia de dia i continuava a la ciutat de Londres. Però ara els carrers eren plens d'humanitat, les botigues estaven obertes, els típics busos vermells circulaven sense parar, la gent idiotitzada entrava als magatzems Harrods i Selfridges: tot semblava normal i els carrers eren plens de vida.

M'he dirigit cap a l'ajuntament per denunciar que tot allò no era real! Ells no eren més que una materialització virtual a la ment d'un professor de matemàtiques que s'havia quedat dormit en un pub super fashion i modern, mentre contemplava unes estranyes formes geomètriques que penjaven del sostre.

I de sobte tots aquell putos funcionaris, fills de la gran bretanya, s'han posat a riure com uns desesperats. He tingut la sensació que se'n en fotien del meu accent del Clot, però no era així. Reien perquè no es creien ni un borrall de tot el que jo els estava intentant explicar.

Molt amablement, però amb contundència, m'han convidat a sortir de l'edifici de l'ajuntament. Els dos segurates que m'han convidat a abandonar les instal.lacions municipals m'eren molt familiars. Potser ens havíem vist en algun altre somni?

He decidit dirigir-me, un altre cop, cap a l'edifici 30 St Mary Axe pel meu compte, entrar-hi i desconnectar aquell maleït ordinador central que en realitat controla tota aquella ciutat poblada per robots.

Per desgràcia no m'han permès accedir a l'interior de l'edifici, així que mentre planejo una estratègia per entrar-hi, hauré de conformar-me i viure aquesta falsa realitat. Ningú es creu res del que intento explicar.



Londres, 1 de gener de l'any 2010:

Avui m'he despertat en un carreró ombrívol molt a prop del pont de la Tower Bridge amb tota la roba bruta i una pudor de cervesa insuportable. El primer que he fet ha estat comprovar que al carrer no hi havia ni robots, ni androides,...així que, estic convençut que en realitat encara no m'he despertat del somni que vaig tenir dins del primer somni.

Es estrany que recordi tants detalls del meu somni, així com del que posteriorment vaig continuar tenint en una altre nivell de subconsciència, el fet és que ho recordo. O potser crec que ho recordo, la veritat és que ara mateix tot em resulta molt confús. Potser el primer somni, en realitat no va existir, i va ser creat des del segon per la meva ment.

D'alguna manera o altra hauria d'intentar entrar al 30 St Mary Axe i desconnectar aquell ordinador central que ho controla tot. Mentres tant, la única cosa que puc fer és aprofitar la meva estada a Londres per intentar trobar nous paisatges matemàtics!

L'arc

En geometria euclidiana, un arc és un segment tancat d'una corba en un pla bidimensional; per exemple, un arc circular és un segment de la circumferència d'un cercle. Si el segment d'arc ocupa un cercle màxim o una el.lipse màxima, es considera un segment d'arc màxim.

En l'àmbit de l'arquitectura un arc és un element constructiu estructural lineal de directriu corba, que permet cobrir un buit sense que es produeixin esforços de flexió ni tracció. La seva utilitat principal és la de salvar llums relativament elevades amb peces petites (anomenades dovelles, que solen ser de pedra, ceràmica o de formigó prefabricat) o amb materials que no resisteixen la tracció, com el formigó en massa.

Un arc natural, pont natural o pont de roca és una formació geològica en forma d'arc o pont de roca causada per l'erosió. Aquestes estructures es formen quan les zones menys resistents de les roques, les fissures, són erosionades profundament, i arriben a travessar la roca. Aquest tipus d'acció erosiva s'anomena corrasió.

Al llarg dels meus viatges i excursions sempre he buscat aquests arcs naturals allà on fos que poguessin ser trobats, observats i travessats. Després d'uns quants anys de recerca metòdica i persistent n'he trobat 16, i encara els continuo buscant allà on sigui que es puguin trobar.

De tots els arcs que he trobat al llarg de la meva vida n'hi ha un de molt especial. La història que em va portar fins aquest arc espero explicar-la algun dia de l'any 2010. De moment us deixo amb la fotografia que vaig fer un dia d'hivern austral en un paratge remot i inhòspit a Namibia en un preciós planeta del sistema solar anomenat Terra. Una imatge val més que mil paraules! I aquesta, almenys per a mi, és una de les més boniques imatges que la meva càmera ha pogut captar al llarg de tots aquests anys.

És una imatge amb la que m'agradaria acomiadar aquest any 2009. Durant unes setmanes aquest blog estarà inactiu. Me'n vaig a la recerca de nous arcs. Naturals i artificials. A la recerca de nous paisatges matemàtics.

Bones festes i bon any 2010!!!

Fins aviat.

Reflexes

Semblo ser l'únic interessat en aquests reflexes marítims tan bonics que es poden veure sota el darrer sol de la tarda al port de Weymouth. Centenars de hooligans i turistes semblen estar interessats només en les seves cerveses i en un partit de futbol que estan retransmetent en tots els pubs.

Penso que encara ningú ha estat capaç d'escriure una equació matemàtica que descrigui el comportament capritxós d'aquest calidoscopi de colors sobre la superficie de l'aigua. Una superficie que es va ondulant de forma més o menys periòdica i aleatòria, mentre els darrers raigs de llum de la tarda incideixen amb un angle cada vegada més petit, tot produint una explosió màgica de colors i formes abstractes sorprenents.

La bellesa, de vegades, es troba amagada en el més petit i sorprenent racó de l'Univers, només cal obrir els ulls i saber-la trobar. Cada dia milers de nous paisatges matemàtics ens envolten.

Matemàtics? Jo només veig mamífers!

Avui he baixat del metro a Palau Reial i m’he deixat dur per l’instint i la nostàlgia cap a territoris que eren molt familiars per mi. He pujat les escales i he sortit pel cantó esquerre de la Diagonal. Clar que això és relatiu, però pressuposo que he sortit cap al cantó esquerre de la diagonal tenint en compte la direcció i el sentit que duia el vagó de metro que m’ha transportat cap aquests paratges. En definitiva, he pujat unes escales noves que aleshores no existien i he continuat caminant diagonal amunt fins que m’he trobat aquell edifici on m’hi vaig passar uns quants anys envoltat d’equacions diferencials, de formes multilineals i altres mandangues topològiques.

De sobte, un senyor amb una enorme barba blanca i uns ullets de trapella s’ha dirigit cap a mi:

-Perdone joven. Es usted matemático? Estoy buscando la Facultat de Matemáticas. Creo que me he perdido, pues llevo media hora dando vueltas sobre el mismo punto.

Davant d’aquesta pregunta m’he quedat dubtant. Ja que en realitat no es podria dir que jo sigui un matemàtic. En realitat vaig estudiar físiques durant uns quants anys i no sé si per sort o per desgràcia vaig aprendre més matemàtiques que física. Si, no ho negaré, vaig gaudir i a vegades patir totes aquelles matemàtiques abstractes. Vaig aprendre milers de teoremes sense nom, vaig lluitar contra totes aquelles maleïdes i alhora boniques demostracions... però en realitat jo no em puc considerar un matemàtic.

- Doncs no. Ho sento, senyor, no sóc un matemàtic. Però potser el pugui ajudar en alguna cosa. Puc orientar-lo perfectament i dir-li cap a on hauria de dirigir els seus passos. Conec bé aquest entorn i aquests edificis, m’hi vaig passar uns quants anys mentre estudiava i aprenia moltes matemàtiques.

- Pero entonces... usted es químico o quizás un físico? O bien podria tratarse de un ingeniero de caminos o un arquitecto. No! Usted debe ser físico!

M’he tornat a quedar dubtant. Si, vaig estudiar físiques i vaig obtenir al final una llicenciatura en ciències físiques. Tinc un enorme diploma que ho certifica, però jo crec que aquell diploma només certifica que vaig aconseguir superar tota aquella absurda carrera d’obstacles que preveia aquell maleït pla d’estudis. La veritat és que no vaig aprendre molta física com crec que ho faria ara si pogués tornar el temps enrera.

M’he quedat pensatiu, l’aspecte d’aquell home m’ha fet pensar en el gran poeta Jesús Lizano, i al final li he dit:

- Mire! Sabe lo que le digo. No soy ni un físico, ni un matemático, ni tampoco un arquitecto, ni un ingeniero de caminos. Soy un mamífero y punto. Y usted también es un mamífero y todos estos estudiantes que salen como una manada de borregos a través de esa puerta no son más que una manada de mamíferos. La verdad! Yo sólo veo mamíferos! Usted no?

De todas formas si quiere le puedo ayudar. Soy un mamífero con un muy buen sentido de la orientación y conozco muy bien este territorio. Siga caminando recto y cuando llegue a ese edificio tan horroroso, gire a la izquierda y continue caminando en dirección al mar. Cuando encuentre la siguiente calle perpendicular a la que usted estará transitando gire a la derecha y allí encontrará la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la UPC. Hace unos años era una escuela de Informática pero ahora las cosas han cambiado.

-Muchas gracias joven. Se nota que es usted un buen mamífero. Que tenga un muy buen día! Yo hace muchos años estudié filosofía en la Universidad de Barcelona y tampoco aprendí demasiado, la verdad es que lo que a mi me gusta es vagar como un animal urbano y escribir poemos, quiero decir...poemas.

L’home m’ha somrigut, m’ha donat les gràcies i ha continuat el seu camí. Juraria que era ell, però no ho puc assegurar... feia temps que no el veia en una foto i quan he arribat a casa l’he anat a buscar ràpidament al youtube.

Us deixo amb aquest mamífer tan especial i amb aquest poema que em va impactar tant la primera vegada que el vaig sentir. I és que és així de simple, només som mamífers!

Té dimensió fractal la Costa Brava?

Ara ja fa uns anys que vaig llegir un bonic Treball de Recerca fet per una estudiant de batxillerat de La Bisbal on explicava de manera molt entenedora el concepte de fractal. Aquest Treball de Recerca va acabar guanyant un petit premi i si algú està interessat en donar-li una ullada el podeu trobar penjat a Internet.

La Mireia exposava els fonaments teòrics de la teoria fractal des de la visió d'una estudiant de batxillerat científic, és a dir sense complicacions matemàtiques degudes al càlcul diferencial o a estranys i complicats teoremes de topologia desconeguts pel gran públic, i finalment s'atrevia a calcular de manera aproximada la dimensió fractal de la Costa Brava del Baix Empordà.

Les conclusions a les que arribava la Mireia eren les següents:

"L'objectiu més important d'aquest treball era trobar la dimensió de la costa Brava del Baix Empordà i demostrar que era una fractal. Aquest objectiu s'ha assolit amb èxit, i un cop fetes totes les mesures he trobat que la dimensió de tota la Costa Brava del Baix Empordà, és de 1,1214.

No és un nombre enter, com era de preveure i, per tant, podem constatar que realment té dimensió fractal.

Cal esmentar que a l'hora de buscar la manera de calcular les diferents mesures del mapa, he tingut petits problemes de metodologia, que finalment he aconseguit resoldre d'una manera satisfactòria. La tasca ha resultat engrescadora i més tenint en compte el resultat final."


I ara arriba el temps en que la Costa Brava mereix ser visitada amb lentitud, quan les platges estan quasi desertes, quan els seus pobles de pescadors tornen a ser pobles de veritat, quan les seves horroroses urbanitzacions estan només poblades pels fantasmes del consumisme, ara que encara el dia és prou llarg i el càlid sol de tardor ens escalfa el cos i l'ànima. Ara la natura es recupera lentament de les massives invasions de milions d'éssers humans a la recerca de platges, discoteques, pollastre a l'ast i crema solar. Ara és el moment de recuperar l'autèntic esperit de la Costa Brava.

Ara és el moment de tornar a caminar seguint el GR-92 mentre recalculem la dimensió fractal de totes aquestes cales amagades. Aquí també hi trobareu nous i sorprenents paisatges matemàtics.

Els objectes fractals i la natura

Hi ha moltes formes de definir un fractal, però el que fa que aquests objectes matemàtics siguin realment interessants és que són un model per d'estudiar i entendre moltes de les formes irregulars que ens podem trobar a la natura.

El matemàtic francès Benoît Mandelbrot va inventar el terme fractal per designar un seguit d'objectes geomètrics d'estructura irregular que li van cridar l'atenció en el seu intent de trobar una geometria més apropiada que la clàssica per descriure les formes de la natura.

La principal característica que tenen aquests objectes és la propietat d'autosemblança: a diferents escales de detall, aquestes figures geomètriques presenten formes o estructures similars. Per aquest motiu, es pot afirmar que els objectes fractals tenen una estructura geomètrica recursiva, això vol dir que que estan compostos d'elements també geomètrics de mida i orientació variable, però d'aspecte similar a l'estructura general.

L'exemple més clar per entendre un fractal és el d'un arbre. Si ens apropem a aquest arbre, podrem veure com les seves branques no són més que "petits arbres" amb la mateixa estructura que la de l'arbre inicial. Si ara ens acostem i mirem amb detall qualsevol d'aquestes branques podrem veure com, a la vegada, es composen de petites branques encara més petites però que mantenen la mateixa estructura inicial.

Aquest procés el podem extrapolar mentalment fina a l'infinit: podríem pensar que un arbre no és més que una col.lecció de petits arbres més petits que a la vegada contenen molts més arbrets encara més petits, etc, etc. Formant una estructura molt complexe de ramificacions que s'extén fins a l'infinit d'una manera recursiva. Tots sabem que a la realitat hi ha un moment que aquest procés es para i al final ens trobem les fulles d'aquest arbre.

Podem trobar exemples de fractals en les núvols del cel, els perfils de les serralades, la forma de la costa marítima, en l'estructura del nostre sistema circulatori i respiratori, en els llamps, en les dendrites de les neurones i fins i tot en les galàxies de l'univers.

Si observem amb atenció el nostre entorn natural segur que descobrim molts paisatges matemàtics plens de fractals.

Espiral logarítmica

Segur que coneixeu moltes espirals. Dit d'una forma barroera una espiral és una corba que es "s'enrosca" sobre ella mateixa de forma indefinida cap a dins o bé cap a fora. Bé, aquesta definició no és massa precisa i es pot prestar a moltes confusions.

Una definició una mica més seriosa és la que ens diu que una espiral és una corba generada per un punt que es va allunyant progressivament del seu centre a la vegada que gira al seu voltant. Els matemàtics han estudiat les espirals des dels temps més remots i han arribat a la conclusió que hi ha molts tipus d'espirals: l'espiral d'Arquímedes, l'espiral clotoide, l'espiral de Fermat, l'espiral de Ulam, l'espiral hiperbòlica i l'espiral logarítmica. Cada una d'aquestes corbes planes té una equació diferent i per tant queda definida matemàticament per una funció diferent. A simple vista les diferències entre algunes d'aquestes espirals poden ser molt subtils.

Es poden construir espirals logarítmiques utilitzant la famosa successió de Fibonacci o a partir d'un rectangle auri. L'espiral logarítmica es diferencia de la famosa espiral d'Arquímedes pel fet que les distàncies entre els seus braços s'incrementen en progressió geomètrica, mentre que en una espiral d'Arquímedes aquestes distàncies són sempre constants.

L'espiral logarítmica va ser estudiada per Descartes i Torricelli però el gran físic i matemàtic Jacob Bernouilli fins i tot li va dedicar un llibre i la va batejar com Spira Mirabilis, és a dir l'espiral meravellosa. Bernouilli va quedar tan impresionat per les seves propietats que va demanar que quan morís li gravéssin una espiral logarítmica a la seva tomba. Per desgràcia a la funerària es van equivocar i li van gravar una espiral d'Arquímedes!

L'espiral logarítmica es troba en molts fenòmens de la natura: en els braços de les galàxies espirals, la nostra galàxia Via Làctia té quatre braços espirals que són espirals logarítmiques, els braços dels ciclons tropicals, algunes teranyines, les closques de la majoria de mol·luscs, les línies de corrent de l'aiguera, els anticiclons del Tomàs Molina... tot són espirals logarítmiques!

Ara mateix contemplo aquest cargol que lentament puja arrapat al branquilló de ginesta mediterrània tot desafiant la llei de la gravetat. Puja i s'atura arrossegant inexorablement la seva espiral logarítmica mentre el rellotge implacable de la vida batega al seu voltant.

Cargol treu banya, puja la muntanya mentre arrossegues la teva espiral logarítmica i ets el protagonista d'un nou paisatge matemàtic.

El Nombre d'Or

Apreciat Doctor Kanazawa:

Des que en alguna de les seves classe de Matemàtiques vaig sentir a parlar de la proporció àuria em vaig sentir força atret per aquest tema. Fins i tot, en el seu llibre de text hi havia alguna pàgina dedicada a aquesta misteriosa proporció així com el famós Número d’Or. En el seu magnífic llibre, vostè afirmava que fins i tot alguns monuments de l’antiguitat havien estat dissenyats tenint en compte aquesta proporció.

Alguns exemples sorprenents que he pogut trobar en diferents pàgines d’Internet o fins i tot en llibres d’autors aparentment prou seriosos i d’un cert nivell m'han estimulat encara més l’interès per aquest tema. Alguns d’aquests exemples que relacionen la proporció àuria amb monuments o obres artístiques del passat són:
-gran piràmide de Keops (Antic Egipte)
-temple del Partenón (Grècia clàssica)
-escultura de marbre d’Apollo de Belvedere (art romà)
-alguns pintors de l’època Medieval (Giotto, Duccio...)
-algunes obres de Leonardo Da Vinci (per exemple La Gioconda)
-alguns pintors contemporanis (Seurat, Dalí)
-alguns edificis de grans arquitectes contemporanis (Le Corbusier)

També he trobat, encara que en una proporció molt més petita, alguns autors que discrepen de forma molt clara sobre aquesta “suposada” relació que s’ha atorgat a la proporció àuria en tots aquests monuments o obres d’art.

D’altra banda també he pogut trobar molts documents i llibres que suggereixen o defensen, de la mateixa manera, una relació molt íntima entre el Nombre d’Or i alguns fenòmens de la natura com ara el creixement d’alguns moluscs i plantes, així com la disposició de les galàxies a l’Univers, o fins i tot la disposició geomètrica de les molècules de l’ADN en l’espai.

Igualment alguns autors, encara que molt pocs, han donat arguments per intentar demostrar que hi ha moltes suposicions sense arguments prou sòlids per tal de poder concloure aquestes relacions tan sorprenents.

La pregunta que m'he acabat fent és la següent: Realment és tant important el Número Auri com alguns autors i milers de pàgines a Internet defensen? Realment forma part aquesta proporció de la naturalesa essencial de la natura i de l’art? O pel contrari, no s’haurà mitificat massa la proporció àuria des que el matemàtic Euclides la descrivís per primera vegada en la seva obra cabdal “Els Elements” (segle IV adC)?.

Estic fent una petita investigació utilitzant les fotografies matemàtiques d'alguns d'aquests monuments que he anat realitzant al llarg d'aquests anys. Espero arribar a alguna conclusió i tan aviat com la tingui prometo comunicar-li per tal que vostè mateix en pugui treure algun profit.

Atentament

L'etern buscador de paisatges matemàtics.

Estimats paisatges matemàtics barcelonins

Avui he pujat al Park Güell mentre queia la tarda, des d’allà t’he contemplat des del Turó de les Tres Creus, després he baixat caminant fins el barri de Gràcia on m’he perdut com sempre. No vull memoritzar els seus carrers, doncs el dia que ho faci i no em perdi per anar de la Plaça del Sol a la Plaça del Nord, el barri de Gracia perdrà la màgia que per a mi sempre havia tingut quan era petit.

Després he baixat pels carrers de l’Eixample fent una ziga zaga aleatòria: un cap a la dreta, dos cap avall, un cap a l’esquerra, un cap avall,... sempre cap avall i en direcció cap al mar. Quantes combinacions de diferents recorreguts es podrien arribar a fer? Això em recorda un problema de combinatòria de 1r de BUP on una formiga es trobava a l’extrem d’un taulell d’escacs i només podia avançar cap a la dreta i cap avall de forma aleatòria. No he sabut mai per quin motiu la maleïda formiga no podia retrocedir cap enrera o bé tirar cap a l’esquerra. La pregunta era: quants camins diferents pot arribar a realitzar aquesta formiga si vol atènyer l'extrem oposat del taulell d'escacs?

En fi, estava jo pensant en la pobra i estúpida formiga quan l’Eixample s’ha acabat i m’he trobat al Carrer sant Pere Mes Baix. El Gòtic! Com m’agrada el Barri Gòtic. Aquí la quadrícula ordenada i simètrica de l’Eixample desapareix i dóna pas a una caòtica teranyina de carrerons estrets, ombrívols amb olors a pixats. He vorejat el Palau de la Música i m’he endinsat pels carrerons estrets que feia molt de temps no trepitjava, he passat per davant del cafè del Teatre i m'he recordat de les inacabables partides de futbolins que feia durant alguna campana quan anava a l’acadèmia Peñalver. Aleshores l’amo del bar era un tipus "gordo" , sebós i calb molt peculiar que tenia un sable de samurai i molta mala hòstia . Sempre ens deia en to amenaçant:

-“Muchachos, aquí para jugar al futbolín, primero hay que consumir!”. Mentre empunyava el seu sable de samurai. El molt cabronàs ens tenia ben acollonits! Aleshores, dos o tres de nosaltres demanàvem un tallat o una coca-cola i continuàvem fent la nostra partida.

He continuat la meva ruta tot endinsant-me en el barri de la Ribera, he passat per davant del Born, de Casa Delfín i després he decidit anar cap al Parc de la Ciutadella. M’encanta passar pel carrer Wellington, tancar els ulls i sentir els sorolls de les bèsties del zoo i imaginar-me que estic en una selva de Borneo. També m’agrada imaginar històries de fantasmes quan veig les antigues cases dels militars abandonades i tapiades. Són com antics dinosaures de l’època franquista, de quan Barcelona era una ciutat grisa, plena de funcionaris i militars. Així i tot, em sap greu que estiguin tan degradades i en perill d’extinció. En una d'aquestes cases... bé, això ja us ho explicaré un altre dia.

Finalment he arribat a la Vila Olímpica del Poblenou he agafat una bici i he recorregut tot el passeig marítim mentre contemplava el nostre estimat Pont de Mar Blava fins que he arribat a la Barceloneta on m’he pres una canya i he resol el problema de la formiga i el taulell d’escacs en un tovalló de paper. I és que en aquesta ciutat a part de signar contractes en tovallons de paper també, de vegades, s’hi resolen petits problemes de matemàtiques!

Després com que estava realment cansat he agafat el 45 que m’ha portat directe cap a casa. Ha estat tota una petita aventura i un petit viatge en el temps apte per a tots els pressupostos, sense necessitat de vacunes, ni tractaments de malària, ni maletes, ni motxilles, ni avions,...i és que Barcelona, malgrat tot, continua sent màgica per a mi.

Per cert, també he descobert nous i apassionants paisatges matemàtics!

Sabrieu dir a quins llocs de Barcelona corresponen aquests quatre paisatges matemàtics?
I sabrieu dir-me quants possibles camins podia arribar a recòrrer la formiga matemàtica?

Desapareixent...

Un bon dia el meu amic Ocaixi va decidir abandonar aquest món. No es tractava d'un suïcidi, ni molt menys. Simplement volia arrecerar-se en un lloc on ningú el molestés, un lloc on pogués estar pensant i divagant durant tot el temps que a ell li vingués de gust. Segles, si era necessari!

Un lloc on poder contemplar sense ser contemplat. Un lloc on poder pensar sense ser pensat. Un lloc on poder imaginar sense ser imaginat. Un lloc allunyat de la mirada i el pensament de la gent mediocre i vulgar d'aquest món.

Després de tants anys estudiant física teòrica i matemàtiques sabia perfectament on trobar els punts de connexió o traspàs cap a altres dimensions. A la Universitat de Ciències Físiques, Ocaixi havia cursat assignatures molt estranyes que parlaven de camps electromagnètics quàntics, de tensors espai-temporals, de mètriques de Schwarzschild, de contraccions de Lorentz...

No sé ben bé en quins càlculs s'havia basat per arribar a les conclusions a les que va arribar. El fet és que em va assegurar que en el meu pis del carrer Rogent hi havia una singularitat espai- temporal de primer ordre i em va demanar permís per accedir-hi.

Jo sempre he estat un incrèdul i de seguida vaig pensar que el meu amic Ocaixi patia una mena de bogeria o de psicosi i que estava seriosament trastocat. El cas és que vaig acabar accedint a les seves peticions.

Em va assegurar que la singularitat espai-temporal de primer ordre que havia localitzat en l'escàs territori del meu refugi de cinquanta metres quadrats era de tipus dinàmic. És a dir, les seves coordenades temporals variaven de forma més o menys aleatòria. Segons els càlculs que em va mostrar, la probabalitat màxima de superposició es trobava en un punt determinat i a una hora determinada de la nit.

Així que, a les 2:30 de la nit d'una agradable nit de tardor, Ocaixi es va dirigir lentament però amb decisió cap a un vell bagul que tenia en el menjador del pis. Jo ja feia anys que havia comprat aquell bagul a les Andròmines de Montcada i Reixac i gairebé no l'obria mai. Hi guardava una manta, uns discs de Mike Oldfield i una col.lecció de CIMOC. Per a mi, aquell bagul només era un simple objecte decoratiu. Però el que mai m'hagués pogut arribar a imaginar és que aquell bagul, que provenia de la República Oriental del Uruguay, acabaria sent una porta a una altra dimensió.

Ocaixi es va plantificar davant d'aquell bagul el va obrir amb molt de compte i s'hi va introduir molt lentament, mentre part del seu cos s'anava volatilitzant. Finalment el bagul es va empassar totalment l'Ocaixi i només en van quedar una samarreta i les seves bambes.

Em vaig quedar petrificat! L'Ocaixi tenia raó i els seus càlculs eren correctes. No estava boig, ni trastocat... els bojos érem tota la resta de la humanitat i ell simplement fugia de nosaltres.

S & G

Una de les coses agradables que m’ha passat al llarg d’aquest viatge a Londres ha estat retrobar-me amb un petit trosset del meu passat musical. Em trobava jo en una d’aquelles enormes tendes de música que hi ha per Oxford Street, quan de sobte vaig veure una súper oferta que no podia deixar escapar de cap de les maneres! Es tractava d’una preciosa caixa amb tota la discografia original de Simon and Garfunkel més el mític concert del Central Park, tot en una presentació impecable i per només 8 lliures esterlines. Increïble! 8 pounds! 8 pounds pels 5 CDs originals de S&G més el DVD del concert d’acomiadament a NYC.

Ja se que a l’any 2009 no és gaire “fashion”, declarar-se fan de S&G. La primera vegada que vaig escoltar cançons de Simon & Garfunkel va ser quan anava a l’escola El Turó i la professora Carme va portar un disc recopilatori de les seves cançons. Recordo que a la portada d’aquell disc apareixien els dos músics caminant per una platja plena de gavines. Em sembla recordar que un d’ells portava una guitarra penjada a l’esquena, mentre caminava pensatiu mirant el terra, però d’això ara mateix no n’estic segur ja que han passat molts anys des d’aleshores. El que si recordo és que de seguida em van atrapar aquelles boniques melodies i aquelles dues veus tan ben sincronitzades. També recordo la dominant taronja de la portada del disc del que semblava una posta de sol. O potser era l’alba?

Després acabaria avorrint-los durant una temporada ja que la seva música em semblava massa ensucrada i finalment els acabaria desterrant dels meus gustos musicals. Era el moment d’escoltar Pink Floyd, Yes, King Crimson, Genesis, Jethro Tull, David Bowie...
Anys més tard, durant la dècada dels noranta, els meus gustos musicals van declinar cap alguns grups del Brit Pop com ara Radiohead, James, Suede, Blur, Pulp, Super Furry Animals,...o bé cap a grups americans molt més contundents com ara Pearl Jam, Soundgarden, Alice in Chains, Jane’s Addiction, Red Hot Chilli Peppers... Reconec que en aquells moments, m’hagués avergonyit si algú m’hagués enxampat escoltant alguna “cançoneta” de S&G. Quina estupidesa!

Però amb el pas dels anys els he tornat a trobar a faltar i molts cops, mentre esmorzo, m’agrada posar algun dels seus temes emblemàtics: “I am a rock”, “Scarborough fair”,.. Escoltar S&G em fa recordar tots aquells anys tan feliços a l’escola El Turó: me’n recordo d’aquella travessa que vam fer a la Vall d’Aran amb els professors Juli i Jacint, dels dies que vam passar a casa la professora Montse a Perelada, dels Carnestoltes a Can Sant Joan,...

Alguns de vosaltres us estareu preguntant: I què tenen a veure Simon & Garfunkel amb els teus paisatges matemàtics? La resposta és molt fàcil. Art Garfunkel a part de ser un magnífic cantant també va estudiar matemàtiques a la Universitat de Columbia. I per tant segur que va ser capaç de veure o imaginar magnífics paisatges matemàtics, potser alguna de les seves cançons podria haver estat inspirada en alguna geometria o simetria...o fins i tot en algun bonic teorema! Però d’això, per desgràcia, no en tinc cap prova!

Una tarda, ara farà quatre o cinc anys, mentre passejava per l’albufera de València el sol va començar a caure lentament mentre tota l’atmosfera es tenyia d’un preciós color ataronjat. Vaig veure dos personatges que estaven asseguts en un petit moll de fusta mentre contemplaven l’infinit. I de sobte vaig tenir una mena de “deja vu”, no sé per quin motiu, el meu cervell va recordar una portada d’un antic disc ja oblidat. A la portada d’aquell disc hi havia una fotografia de dos músics passejant per una platja. Un d’ells era també matemàtic. I tot semblava envoltat per una misteriosa i màgica posta de sol. O potser era l’alba?

Micro paisatges matemàtics i geològics

Estimat amic fuflunaire:

L'altre dia vaig anar a casa de l'August a la recerca de fabulosos micropaisatges matemàtics. L'August és un almogàver modern que organitza expedicions geològiques, cates de vins, partides d'escacs i dinars inacabables en el seu refugi del Poblenou.

L'August és la reencarnació de Roger de Flor al bell mig de Granollers, però en comptes d'empunyar una espasa, acostuma a portar un martell de geòleg, una lupa binocular, una caixa sempre plena de minerals i la seva inseparable pipa de mariner que l'acompanya allà on va.

Un bon dia l'August em va fer notar que, efectivament , el món de les roques i minerals també és una font inacabable de micropaisatges matemàtics. Només cal un trípode, un bon objectiu macro i una mica de paciència per anar descobrint cristalls amb simetria esfèrica, romboedres, dodecaedres, cubs, cilindres i d'altres formes cristal·lines de l'apassionant món mineral.

Així que vaig agafar el trípode i la càmera i vaig anar a casa l'August. Va ser un viatge apassionant on vam descobrir centenars de micro paisatges matemàtics. Curiosament el nombre de paisatges matemàtics descoberts va ser inversament proporcional al nivell de vi que quedava a l'ampolla que hi havia damunt la taula. Cada cop em costava més enfocar aquells microminerals...Finalment vam haver de deixar aquell enriquidor viatge a través de l'objectiu de la càmera i vam acabar obrint una altra ampolla de vi mentre em donava unes lliçons magistrals sobre crista.lografia, roques magmàtiques, sediments i conglomerats metamòrfics.

L'August, que també és un sibarita i un bon gastrònom, també m'ha suggerit que es poden trobar molts paisatges matemàtics en el món de la gastronomia creativa (esferificacions, simetries radials, ...) Hem quedat un altre dia per fer la pertinent recerca i treure'n les conclusions que faci falta. Un dia us parlaré de la Societat Gastronòmica Secreta que l'August i una colla de professors van muntar ara ja fa uns anys en un local del Poblenou.

Espero haver atès d'alguna manera la petició que em vas fer en un post ara ja fa unes setmanes. Prometo, en un futur no molt llunyà, parlar d'espirals logarítmiques, de fractals, del número auri...perquè efectivament la mare natura és també una font inesgotable de paisatges matemàtics.

Atentament.

L'etern buscador de paisatges matemàtics.

Fotografia matemàtica

Una fotografia matemàtica és qualsevol foto que contingui algun element matemàtic o del món de l’abstracció. Rectes paral·leles, simetries, figures geomètriques, corbes, superfícies, vectors, funcions, números, punts, còniques, quàdriques, geodèsiques, asímptotes, mosaics, teselacions,... la llista és inacabable!

Demà dissabte marxo cap a Londres amb els meus alumnes a la recerca de fotografies matemàtiques. Seran cinc dies intensos i espero que ben aprofitats. Espero que de la quantitat n’acabi sorgint la qualitat. Com tots vosaltres sabeu la recerca de la bellesa matemàtica no sempre és fàcil de trobar. Caldrà molta inspiració, molta perseverança,...i també una mica de sort, ja que es preveu que hi hagi dies plujosos. I és clar, si les condicions lumíniques no són les adequades poca cosa podrem fer. El que està clar és que tots tenen una gran il·lusió i unes enormes ganes de descobrir nous i apassionants paisatges matemàtics!

Tornaré a estar molt a prop de la Battersea Power Station i podria tornar a fer un intent per entrar a la recerca de la tercera corda trencada del David Gilmour, però no ho faré. Una cosa és anar a Londres pel teu compte i l’altre anar-hi com a responsable d’un grup de més de 40 adolescents. Així que la relíquia Pinkfloydiana de la que ja us vaig parlar en un altre post haurà d’esperar un millor moment.

Fins la tornada!

Cementiri de trens d'Uyuni

Aquella vella locomotora havia estat transportada feia més de cent anys des de la ciutat anglesa de Manchester. Aquelles imponents màquines tractores havien estat fabricades a la Beyer Peacock Ltd. i posteriorment havien travessat l’oceà atlàntic a bord de vells i enormes vaixells de vapor. Quantes persones haurien treballat per construir aquelles vies de tren? Quanta gent s’hi havia deixat la salut i la vida per portar totes aquelles tones de ferro fins aquell desert situat a més de 3000 metres d’alçada?

La primera ruta ferroviària a Bolívia va ser la del ferrocarril Uyuni-Antofagasta i es va inaugurar a finals del segle XIX. Per ella hi circulaven vagons carregats amb plata i estany, provinents de les mines de Huanchaca. Aquells preciosos carregaments havien d’arribar a la ciutat portuària d’Antofagasta on es processava el mineral o bé es carregava en enormes vaixells de vapor.

El tren havia arribat a Bolívia amb una gran expectació social. La simple imatge d’una locomotora representava el símbol del progrés. Qualsevol novetat relacionada amb el tren que vingués d’Europa era celebrada amb una gran i solemne inauguració. La “febre del tren” va ser relativament breu ja que de seguida es va poder comprovar que els trens s’emportaven els minerals, i en canvi el progrés i la riquesa no arribaven mai a les pobres terres bolivianes.

Ara ja feia molts anys que tota aquella activitat havia iniciat la seva decadència i finalment la seva desaparició definitiva. Aquells fòssils tecnològics del passat es resistien a desaparèixer i lluitaven contra el pas del temps i dels elements meteorològics.
Encara ara, durant les fredes i solitàries nits d’hivern, es poden sentir els esperits que romanen atrapats en tots aquells laberints d’òxid metàl·lic .

Encara ara, si un escolta amb atenció, es poden sentir els crits del maquinista ordenant augmentar la pressió de la caldera. Encara es pot escoltar la veu de tots aquells indígenes que van dedicar les seves vides a transportar totes aquelles travesseres, rails, i esquelets metàl·lics fins aquell altiplà ... mentre mastegaven fulles de coca per poder aguantar les llargues i inacabables jornades laborals en condicions de semi-esclavisme.

Mentrestant el vent, els canvis de temperatura, la humitat, les tempestes de sorra continuen rovellant i desgastant aquests enormes fòssils mecànics que van regnar durant tots aquells anys i que es resisteixen a desaparèixer per sempre més.

Així és la vida!

He imaginat coses que no creureu

Aquella calorosa tarda d’estiu vam arribar a Osaka amb el shinkansen de les 20:00. Calia recórrer la ciutat de nit si volíem recuperar l’esperit i la màgia d’aquella pel·lícula. A més, si volíem tenir l’oportunitat de trobar-nos cara a cara amb un d’aquells replicants calia deixar-se portar per la imaginació i sobretot ser molt persistents en les nostres intencions. M’havien dit que aquella era la ciutat ideal per intentar recuperar aquella màgia ara perduda i enterrada pel pas dels anys. Però calia fer-ho de nit!

Calia deixar-se engolir per aquelles multituds de persones anònimes que parlaven aquell idioma tan estrany i llunyà al nostre. Així que vam dirigir-nos cap al barri de Dotombori. Allí ens vam perdre i ens vam deixar engolir per aquella enorme marea humana . Segur que entre aquells milers d’éssers humans, de yakuzes, de hikikomoris, de prostitutes, de venedors ambulants, de policies camuflats, de salarymen, de joves fashion, d’oficinistes... s’hi trobava amagat aquell replicant que fugia de nosaltres! Primer de tot calia localitzar-lo i això era una feina prou difícil, per no dir impossible.

La lluna i els anuncis lluminosos es reflectien a l’aigua dels canals. Centenars de neons, d’enormes pantalles de plasma, de sales de patchinko, d’hotels de l’amor super horteres, de llocs ambulants de menjar ràpid, de restaurants de noodles i ramen, d’hotels càpsula,... però cap rastre del nostre replicant. Estàvem convençuts que en aquells moments ell ja sabia perfectament de la nostra existència i fugia per amagar-se en algun lloc secret de la ciutat.

Finalment quan ho havíem donat tot per perdut se’ns va ocórrer que potser s’havia amagat en el lloc més alt de la ciutat: l’edifici Umeda. Així que, sense perdre un sol minut, ens vam dirigir cap aquella torre futurista i vam pujar en aquell ascensor supersònic que ens va portar a tota velocitat cap a l’enorme terrassa. Des d’aquella terrassa vam contemplar embadalits aquella enorme metròpoli inacabable: milions de llumetes que es perdien en l’horitzó, éssers humans que s’havien convertit en insignificants puntets, canals il·luminats que esdevenien rectes de colors...un bonic i sorprenent paisatge matemàtic!

De sobte, va començar a caure una fina pluja, la gent de la terrassa va marxar i ens vam quedar sols. Sols? No del tot... a pocs metres de nosaltres vam poder contemplar emocionats com una silueta humana ens estava mirant i es dirigia cap a nosaltres. Estic segur que tots sabeu com va acabar aquesta història i el què ens va dir aquell estrany personatge en aquella calorosa nit d'estiu a la ciutat japonesa d'Osaka.