Espiral logarítmica

Segur que coneixeu moltes espirals. Dit d'una forma barroera una espiral és una corba que es "s'enrosca" sobre ella mateixa de forma indefinida cap a dins o bé cap a fora. Bé, aquesta definició no és massa precisa i es pot prestar a moltes confusions.

Una definició una mica més seriosa és la que ens diu que una espiral és una corba generada per un punt que es va allunyant progressivament del seu centre a la vegada que gira al seu voltant. Els matemàtics han estudiat les espirals des dels temps més remots i han arribat a la conclusió que hi ha molts tipus d'espirals: l'espiral d'Arquímedes, l'espiral clotoide, l'espiral de Fermat, l'espiral de Ulam, l'espiral hiperbòlica i l'espiral logarítmica. Cada una d'aquestes corbes planes té una equació diferent i per tant queda definida matemàticament per una funció diferent. A simple vista les diferències entre algunes d'aquestes espirals poden ser molt subtils.

Es poden construir espirals logarítmiques utilitzant la famosa successió de Fibonacci o a partir d'un rectangle auri. L'espiral logarítmica es diferencia de la famosa espiral d'Arquímedes pel fet que les distàncies entre els seus braços s'incrementen en progressió geomètrica, mentre que en una espiral d'Arquímedes aquestes distàncies són sempre constants.

L'espiral logarítmica va ser estudiada per Descartes i Torricelli però el gran físic i matemàtic Jacob Bernouilli fins i tot li va dedicar un llibre i la va batejar com Spira Mirabilis, és a dir l'espiral meravellosa. Bernouilli va quedar tan impresionat per les seves propietats que va demanar que quan morís li gravéssin una espiral logarítmica a la seva tomba. Per desgràcia a la funerària es van equivocar i li van gravar una espiral d'Arquímedes!

L'espiral logarítmica es troba en molts fenòmens de la natura: en els braços de les galàxies espirals, la nostra galàxia Via Làctia té quatre braços espirals que són espirals logarítmiques, els braços dels ciclons tropicals, algunes teranyines, les closques de la majoria de mol·luscs, les línies de corrent de l'aiguera, els anticiclons del Tomàs Molina... tot són espirals logarítmiques!

Ara mateix contemplo aquest cargol que lentament puja arrapat al branquilló de ginesta mediterrània tot desafiant la llei de la gravetat. Puja i s'atura arrossegant inexorablement la seva espiral logarítmica mentre el rellotge implacable de la vida batega al seu voltant.

Cargol treu banya, puja la muntanya mentre arrossegues la teva espiral logarítmica i ets el protagonista d'un nou paisatge matemàtic.

El Nombre d'Or

Apreciat Doctor Kanazawa:

Des que en alguna de les seves classe de Matemàtiques vaig sentir a parlar de la proporció àuria em vaig sentir força atret per aquest tema. Fins i tot, en el seu llibre de text hi havia alguna pàgina dedicada a aquesta misteriosa proporció així com el famós Número d’Or. En el seu magnífic llibre, vostè afirmava que fins i tot alguns monuments de l’antiguitat havien estat dissenyats tenint en compte aquesta proporció.

Alguns exemples sorprenents que he pogut trobar en diferents pàgines d’Internet o fins i tot en llibres d’autors aparentment prou seriosos i d’un cert nivell m'han estimulat encara més l’interès per aquest tema. Alguns d’aquests exemples que relacionen la proporció àuria amb monuments o obres artístiques del passat són:
-gran piràmide de Keops (Antic Egipte)
-temple del Partenón (Grècia clàssica)
-escultura de marbre d’Apollo de Belvedere (art romà)
-alguns pintors de l’època Medieval (Giotto, Duccio...)
-algunes obres de Leonardo Da Vinci (per exemple La Gioconda)
-alguns pintors contemporanis (Seurat, Dalí)
-alguns edificis de grans arquitectes contemporanis (Le Corbusier)

També he trobat, encara que en una proporció molt més petita, alguns autors que discrepen de forma molt clara sobre aquesta “suposada” relació que s’ha atorgat a la proporció àuria en tots aquests monuments o obres d’art.

D’altra banda també he pogut trobar molts documents i llibres que suggereixen o defensen, de la mateixa manera, una relació molt íntima entre el Nombre d’Or i alguns fenòmens de la natura com ara el creixement d’alguns moluscs i plantes, així com la disposició de les galàxies a l’Univers, o fins i tot la disposició geomètrica de les molècules de l’ADN en l’espai.

Igualment alguns autors, encara que molt pocs, han donat arguments per intentar demostrar que hi ha moltes suposicions sense arguments prou sòlids per tal de poder concloure aquestes relacions tan sorprenents.

La pregunta que m'he acabat fent és la següent: Realment és tant important el Número Auri com alguns autors i milers de pàgines a Internet defensen? Realment forma part aquesta proporció de la naturalesa essencial de la natura i de l’art? O pel contrari, no s’haurà mitificat massa la proporció àuria des que el matemàtic Euclides la descrivís per primera vegada en la seva obra cabdal “Els Elements” (segle IV adC)?.

Estic fent una petita investigació utilitzant les fotografies matemàtiques d'alguns d'aquests monuments que he anat realitzant al llarg d'aquests anys. Espero arribar a alguna conclusió i tan aviat com la tingui prometo comunicar-li per tal que vostè mateix en pugui treure algun profit.

Atentament

L'etern buscador de paisatges matemàtics.

Estimats paisatges matemàtics barcelonins

Avui he pujat al Park Güell mentre queia la tarda, des d’allà t’he contemplat des del Turó de les Tres Creus, després he baixat caminant fins el barri de Gràcia on m’he perdut com sempre. No vull memoritzar els seus carrers, doncs el dia que ho faci i no em perdi per anar de la Plaça del Sol a la Plaça del Nord, el barri de Gracia perdrà la màgia que per a mi sempre havia tingut quan era petit.

Després he baixat pels carrers de l’Eixample fent una ziga zaga aleatòria: un cap a la dreta, dos cap avall, un cap a l’esquerra, un cap avall,... sempre cap avall i en direcció cap al mar. Quantes combinacions de diferents recorreguts es podrien arribar a fer? Això em recorda un problema de combinatòria de 1r de BUP on una formiga es trobava a l’extrem d’un taulell d’escacs i només podia avançar cap a la dreta i cap avall de forma aleatòria. No he sabut mai per quin motiu la maleïda formiga no podia retrocedir cap enrera o bé tirar cap a l’esquerra. La pregunta era: quants camins diferents pot arribar a realitzar aquesta formiga si vol atènyer l'extrem oposat del taulell d'escacs?

En fi, estava jo pensant en la pobra i estúpida formiga quan l’Eixample s’ha acabat i m’he trobat al Carrer sant Pere Mes Baix. El Gòtic! Com m’agrada el Barri Gòtic. Aquí la quadrícula ordenada i simètrica de l’Eixample desapareix i dóna pas a una caòtica teranyina de carrerons estrets, ombrívols amb olors a pixats. He vorejat el Palau de la Música i m’he endinsat pels carrerons estrets que feia molt de temps no trepitjava, he passat per davant del cafè del Teatre i m'he recordat de les inacabables partides de futbolins que feia durant alguna campana quan anava a l’acadèmia Peñalver. Aleshores l’amo del bar era un tipus "gordo" , sebós i calb molt peculiar que tenia un sable de samurai i molta mala hòstia . Sempre ens deia en to amenaçant:

-“Muchachos, aquí para jugar al futbolín, primero hay que consumir!”. Mentre empunyava el seu sable de samurai. El molt cabronàs ens tenia ben acollonits! Aleshores, dos o tres de nosaltres demanàvem un tallat o una coca-cola i continuàvem fent la nostra partida.

He continuat la meva ruta tot endinsant-me en el barri de la Ribera, he passat per davant del Born, de Casa Delfín i després he decidit anar cap al Parc de la Ciutadella. M’encanta passar pel carrer Wellington, tancar els ulls i sentir els sorolls de les bèsties del zoo i imaginar-me que estic en una selva de Borneo. També m’agrada imaginar històries de fantasmes quan veig les antigues cases dels militars abandonades i tapiades. Són com antics dinosaures de l’època franquista, de quan Barcelona era una ciutat grisa, plena de funcionaris i militars. Així i tot, em sap greu que estiguin tan degradades i en perill d’extinció. En una d'aquestes cases... bé, això ja us ho explicaré un altre dia.

Finalment he arribat a la Vila Olímpica del Poblenou he agafat una bici i he recorregut tot el passeig marítim mentre contemplava el nostre estimat Pont de Mar Blava fins que he arribat a la Barceloneta on m’he pres una canya i he resol el problema de la formiga i el taulell d’escacs en un tovalló de paper. I és que en aquesta ciutat a part de signar contractes en tovallons de paper també, de vegades, s’hi resolen petits problemes de matemàtiques!

Després com que estava realment cansat he agafat el 45 que m’ha portat directe cap a casa. Ha estat tota una petita aventura i un petit viatge en el temps apte per a tots els pressupostos, sense necessitat de vacunes, ni tractaments de malària, ni maletes, ni motxilles, ni avions,...i és que Barcelona, malgrat tot, continua sent màgica per a mi.

Per cert, també he descobert nous i apassionants paisatges matemàtics!

Sabrieu dir a quins llocs de Barcelona corresponen aquests quatre paisatges matemàtics?
I sabrieu dir-me quants possibles camins podia arribar a recòrrer la formiga matemàtica?